Какова площадь поверхности, образованной вращением ромба ABCD с равными сторонами 1 и острым углом 60 вокруг оси?

Chernysh

69

Хорошо, давайте пошагово решим данную задачу.

1. Начнем с построения ромба ABCD со сторонами длиной 1. Ромб имеет острый угол 60 градусов. Для удобства пронумеруем углы ромба: угол A, угол B, угол C и угол D.

2. Чтобы найти площадь поверхности, образованной вращением ромба вокруг оси, мы будем использовать интеграл. Для этого нам понадобится знать, как выражается площадь поверхности элементарной полосы ромба, образованной вращением отрезка AB вокруг оси.

3. Для начала, нам необходимо найти высоту элементарной полосы ромба. Обратите внимание, что средняя линия ромба является высотой для каждой полосы.

4. Длина средней линии элементарной полосы соответствует длине стороны ромба и равна 1. Так как ромб имеет острый угол 60 градусов, то высота элементарной полосы будет равна половине длины средней линии, то есть 0.5.

5. Теперь у нас есть высота элементарной полосы ромба, и мы можем найти площадь поверхности этой полосы. Обозначим ее как dS.

6. Площадь поверхности элементарной полосы ромба может быть выражена как \(dS = 2\pi x h \Delta x\), где \(h\) - это высота полосы, \(x\) - это радиус поворота отрезка AB, а \(\Delta x\) - это малое изменение радиуса поворота.

7. Мы знаем, что радиус поворота отрезка AB равен \(x = \frac{1}{2}\) (половина длины стороны ромба).

8. Теперь мы можем записать формулу для площади поверхности элементарной полосы ромба \(dS = 2\pi \cdot \frac{1}{2} \cdot 0.5 \cdot \Delta x\).

9. Для того чтобы найти площадь поверхности, образованной полным вращением ромба вокруг оси, нам необходимо проинтегрировать площадь поверхности каждой элементарной полосы от 0 до R (где R - это радиус поворота всего ромба).

10. Мы получаем выражение для полной площади поверхности ромба: \(S = \int_0^R 2\pi \cdot \frac{1}{2} \cdot 0.5 \cdot \Delta x\).

11. Вычислим это интеграл: \(S = \pi \int_0^R \Delta x\).

12. Интеграл \(\int \Delta x\) равен просто \(x\). Поэтому получаем окончательный ответ для площади поверхности, образованной вращением ромба вокруг оси: \(S = \pi R\).

Таким образом, площадь поверхности, образованной вращением ромба ABCD с равными сторонами 1 и острым углом 60 градусов вокруг оси, равна \(\pi R\), где R - это радиус поворота ромба.