Какова площадь поверхности пирамиды, если ее основание является правильным треугольником со стороной длиной 10

Smesharik

24

Для решения данной задачи, мы можем использовать формулу для вычисления площади поверхности пирамиды. Площадь поверхности пирамиды вычисляется как сумма площадей основания и боковой поверхности.

Для начала, найдем площадь основания пирамиды. Мы знаем, что основание является правильным треугольником со стороной длиной 10 см. Так как треугольник правильный, то все его стороны равны между собой. Для вычисления площади правильного треугольника, мы можем использовать следующую формулу:

\[S_{\text{осн}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a^2\]

где \(S_{\text{осн}}\) - площадь основания пирамиды, \(\sqrt{3}\) - квадратный корень из трех, \(a\) - длина стороны треугольника. Подставляя значения в формулу, получаем:

\[S_{\text{осн}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 10^2\]

Дальше, найдем площадь боковой поверхности пирамиды. Боковая поверхность пирамиды представляет собой равнобедренный треугольник, у которого основание равно стороне основания пирамиды, а боковые стороны равны апофеме. Для вычислении площади равнобедренного треугольника, мы будем использовать следующую формулу:

\[S_{\text{бок}} = \frac{a \cdot p}{2}\]

где \(S_{\text{бок}}\) - площадь боковой поверхности пирамиды, \(a\) - длина стороны треугольника (равная стороне основания пирамиды), \(p\) - длина апофемы. В нашем случае, \(a = 10 \, \text{см}\) и апофема неизвестна.

Чтобы найти апофему, мы можем использовать теорему Пифагора. Внутри пирамиды, апофема, боковая сторона пирамиды и радиус описанной окружности правильного треугольника образуют прямоугольный треугольник. Используя эту информацию, мы можем составить следующее уравнение:

\[p^2 = a^2 + r^2\]

где \(p\) - длина апофемы, \(a\) - длина стороны треугольника (равная стороне основания пирамиды), \(r\) - радиус описанной окружности правильного треугольника.

Мы знаем, что радиус описанной окружности правильного треугольника равен двум радиусам вписанной окружности.

Поэтому, радиус описанной окружности можно найти, используя следующую формулу:

\[r = \frac{a}{2} \cdot \sqrt{3}\]

Подставляя значения в уравнение, для нахождения апофемы, получаем:

\[p^2 = 10^2 + \left(\frac{10}{2} \cdot \sqrt{3}\right)^2\]

Далее, решаем уравнение:

\[p = \sqrt{10^2 + \left(\frac{10}{2} \cdot \sqrt{3}\right)^2}\]

После того, как мы найдем значение апофемы, мы можем подставить его в формулу для нахождения площади боковой поверхности и вычислить ее значение.

Суммируем площадь основания и площадь боковой поверхности, чтобы найти площадь поверхности пирамиды:

\[S = S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}}\]

Таким образом, площадь поверхности пирамиды вычисляется.