Какова площадь прямоугольника, у которого диагональ в 1,25 раза больше одной из сторон и на 8 см больше другой стороны?

Magnit

12

Давайте решим данную задачу шаг за шагом. Пусть одна из сторон прямоугольника равна \(x\) см. Тогда другая сторона будет равна \(x + 8\) см, так как она на 8 см больше одной из сторон.

Мы знаем, что диагональ прямоугольника составляет 1,25 раза больше одной из сторон. Если мы обозначим эту сторону буквой \(y\), то можем записать следующее уравнение:

\[y = 1.25x\]

Также у нас есть теорема Пифагора: квадрат диагонали равен сумме квадратов сторон. Применяя эту теорему к нашему прямоугольнику, получим следующее уравнение:

\[(x + 8)^2 + (1.25x)^2 = D^2\]

где \(D\) - длина диагонали.

Давайте продолжим раскрывать скобки и упрощать это уравнение:

\[x^2 + 16x + 64 + 1.5625x^2 = D^2\]

\[2.5625x^2 + 16x + 64 = D^2\]

Теперь мы знаем, что площадь прямоугольника равна произведению его сторон, поэтому площадь \(S\) будет равна:

\[S = x \cdot (x + 8)\]

Сравнивая данные уравнения, мы можем сделать вывод, что:

\[S = x \cdot (x + 8) = 2.5625x^2 + 16x + 64\]

Теперь мы можем уравнять правую и левую части этого уравнения и решить его:

\[2.5625x^2 + 16x + 64 - x^2 - 8x = 0\]

\[1.5625x^2 + 8x + 64 = 0\]

Для решения квадратного уравнения, мы можем использовать формулу дискриминанта \(D\):

\[D = b^2 - 4ac\]

где \(a = 1.5625\), \(b = 8\), и \(c = 64\).

Вычислим значение дискриминанта:

\[D = 8^2 - 4 \cdot 1.5625 \cdot 64\]

\[D = 64 - 400\]

\[D = -336\]

Так как дискриминант отрицательный, значит, у нашего квадратного уравнения нет действительных корней. Это означает, что не существует такого значения \(x\), при котором площадь прямоугольника будет удовлетворять условиям задачи.

Ответ: По заданным условиям, площадь прямоугольника не может быть определена.