Какие значения x удовлетворяют уравнению (6sin^2x-11sinx+4)*log13(-tgx)=0?

Черная_Роза

34

Давайте разберемся с решением данного уравнения пошагово.

Уравнение, которое дано: \((6\sin^2x - 11\sin x + 4)\log_{13}(-\tan x) = 0\)

Чтобы решить это уравнение, нужно найти значения \(x\), при которых выражение слева равно нулю. Для этого выполним два шага.

Шаг 1: Решение уравнения \((6\sin^2x - 11\sin x + 4) = 0\)
Для начала решим это уравнение. Здесь у нас квадратное уравнение относительно \(\sin x\). Мы можем использовать квадратное уравнение для нахождения корней.

Для удобства обозначим \(\sin x\) за \(t\). Тогда уравнение примет вид:
\(6t^2 - 11t + 4 = 0\)

Теперь нам нужно решить это квадратное уравнение.

Разложим его на множители или воспользуемся формулой дискриминанта.
Дискриминант \(D\) вычисляется по формуле \(D = b^2 - 4ac\), где \(a = 6\), \(b = -11\) и \(c = 4\).
Подставляя значения, получим: \(D = (-11)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 4 = 121 - 96 = 25\).

Мы получили, что дискриминант равен 25. Так как он положительный, у нас есть два корня для этого уравнения.

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения: \(t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\).
Подставив значения, получаем: \(t_{1,2} = \frac{11 \pm 5}{12}\).
Решив эти выражения получим: \(t_1 = \frac{11+5}{12} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3}\) и \(t_2 = \frac{11-5}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}\).

Таким образом, у нас есть два значения для \(t\): \(t_1 = \frac{4}{3}\) и \(t_2 = \frac{1}{2}\).

Шаг 2: Решение уравнения \(\log_{13}(-\tan x) = 0\)
Теперь рассмотрим второе слагаемое в уравнении, т.е. \(\log_{13}(-\tan x)\).

Мы знаем, что \(\log_b(a) = 0\) имеет решение только при \(a = 1\).
Таким образом, у нас есть \(-\tan x = 1\).

Итак, у нас есть два уравнения, которые мы рассчитали на шаге 1 и шаге 2:
1) \(6\sin^2x - 11\sin x + 4 = 0\) с корнями \(t_1 = \frac{4}{3}\) и \(t_2 = \frac{1}{2}\)
2) \(-\tan x = 1\)

Теперь найдем значения \(x\), удовлетворяющие этим уравнениям.

1) Решение уравнения \(6\sin^2x - 11\sin x + 4 = 0\):
Мы знаем, что \(\sin x = t\), а \(t = \frac{4}{3}\) и \(t = \frac{1}{2}\).
Подставляя значения, получаем:

Для \(t = \frac{4}{3}\):
\(\sin x = \frac{4}{3}\),
\(x = \arcsin\left(\frac{4}{3}\right)\).

Для \(t = \frac{1}{2}\):
\(\sin x = \frac{1}{2}\),
\(x = \arcsin\left(\frac{1}{2}\right)\).

2) Решение уравнения \(-\tan x = 1\):
Здесь мы знаем, что \(\tan x = -1\), а значит \(x\) равен:
\(x = -\arctan(1)\).

Таким образом, у нас есть три возможных значения \(x\):
1) \(x = \arcsin\left(\frac{4}{3}\right)\)
2) \(x = \arcsin\left(\frac{1}{2}\right)\)
3) \(x = -\arctan(1)\)

Обратите внимание, что для уравнения \(\log_{13}(-\tan x) = 0\) у нас не получилось уравнений, так как \(-\tan x = 1\) не имеет решения, удовлетворяющего \(\log_{13}(\cdot) = 0\).

Надеюсь, я дал вам максимально подробный ответ, объяснив каждый шаг решения данного уравнения.