Какова площадь прямоугольной трапеции ABCD, если большая боковая сторона равна 7 см, угол А равен 60°, а высота

Ящерица

64

Для начала, давайте разберемся с тем, что такое прямоугольная трапеция. Прямоугольная трапеция - это четырехугольник, у которого две противоположные стороны параллельны, а одна из боковых сторон перпендикулярна к основаниям.

Дано, что у нас есть прямоугольная трапеция ABCD, где сторона BC (большая боковая сторона) равна 7 см, угол А равен 60°, а высота ВН делит основание AD пополам.

Для решения этой задачи нам понадобится знать формулу для вычисления площади прямоугольной трапеции:

\[ S = \frac{(a + b) \cdot h}{2} \]

где S - площадь, a и b - основания, h - высота.

У нас есть высота ВН, которая делит основание AD пополам, что означает, что отрезки AN и ND равны между собой.

Таким образом, основания AD и BC можно представить в виде суммы отрезков AN, ND, BC.

Теперь, чтобы найти площадь, нам нужно знать значения оснований AD и BC, а также высоту ВН.

Чтобы найти основания, мы можем воспользоваться тригонометрией. Нам известно, что угол А равен 60°, а большая боковая сторона BC равна 7 см.

Мы можем выразить одно из оснований через угол и сторону трапеции, используя тригонометрический закон синусов:

\[ \frac{BC}{\sin A} = \frac{AD}{\sin \angle BAC} \]

В данном случае, угол BAC равен 90°, поскольку это прямоугольная трапеция. Подставим известные значения и решим уравнение:

\[ \frac{7}{\sin 60} = \frac{AD}{\sin 90} \]

\[ \frac{7}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{AD}{1} \]

\[ AD = \frac{7 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{14}{\sqrt{3}} \]

Теперь мы знаем одно из оснований AD. Так как высота ВН делит основание AD пополам, то отрезок AN равен отрезку ND, а значит, мы можем записать:

\[ AD = AN + ND \]

\[ \frac{14}{\sqrt{3}} = 2 \cdot ND \]

\[ ND = \frac{\frac{14}{\sqrt{3}}}{2} = \frac{7}{\sqrt{3}} \]

Теперь, чтобы найти площадь, мы можем использовать формулу:

\[ S = \frac{(AD + BC) \cdot h}{2} \]

Подставляем известные значения и решаем уравнение:

\[ S = \frac{\left( \frac{14}{\sqrt{3}} + 7 \right) \cdot \frac{7}{\sqrt{3}}}{2} \]

\[ S = \frac{\left( \frac{14 + 7 \sqrt{3}}{\sqrt{3}} \right) \cdot \frac{7}{\sqrt{3}}}{2} \]

\[ S = \frac{(14 + 7 \sqrt{3}) \cdot 7}{2 \cdot 3} \]

\[ S = \frac{98 + 49 \sqrt{3}}{6} \]

Таким образом, площадь прямоугольной трапеции ABCD равна \(\frac{98 + 49 \sqrt{3}}{6}\) квадратных сантиметров.