Какова площадь прямоугольной трапеции АВСК, если большая боковая сторона равна 5 см, угол К равен 45° и высота СН делит

Светлячок_В_Траве_319

30

Чтобы найти площадь прямоугольной трапеции АВСК, нужно знать значение боковой стороны, угла К и высоты СН. Давайте разберемся шаг за шагом.

1. Из условия задачи известно, что большая боковая сторона равна 5 см. Обозначим ее как ВК.

2. Зная, что высота СН делит основание АК пополам, можно сделать вывод, что АН = КН. Обозначим их длину как х.

3. Так как АН = КН, а угол К равен 45°, получаем прямоугольный треугольник АКН, где гипотенуза АК равна 5 см, а катеты АН и КН равны х см.

4. Применяя теорему Пифагора для треугольника АКН, получаем следующее уравнение: \(АН^2 + КН^2 = АК^2\).

5. Подставим значения длин АН и КН: \(х^2 + х^2 = 5^2\).

6. Решим это уравнение: \(2х^2 = 25\), \(\Rightarrow\) \(х^2 = \frac{25}{2}\).

7. Найдем значение х, извлекая квадратный корень: \(х = \sqrt{\frac{25}{2}} = \frac{5}{\sqrt{2}}\).

8. Теперь, чтобы найти площадь трапеции АВСК, нужно умножить сумму длин оснований (АК и ВС) на высоту (СН) и поделить полученный результат на 2.

9. Длина основания АК равна АН + НК, то есть \(2х + 2х = 4х\).

10. Высота СН равна х.

11. Подставим значения в формулу для площади трапеции: \(S = \frac{(4х + 5) \cdot х}{2}\).

12. Подставим значение х: \(S = \frac{(4 \cdot \frac{5}{\sqrt{2}} + 5) \cdot \frac{5}{\sqrt{2}}}{2}\).

13. Упростим выражение: \(S = \frac{(20 + 5\sqrt{2}) \cdot \frac{5}{\sqrt{2}}}{2}\).

14. Раскроем скобки и упростим еще больше: \(S = \frac{100 + 25\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}\).

15. Для удобства можно разделить числитель и знаменатель на 2: \(S = \frac{50 + 12.5\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\).

16. Мы получили площадь трапеции АВСК в виде десятичной дроби. Если нужно, можно приблизить ее до определенного числа знаков после запятой.

Таким образом, площадь прямоугольной трапеции АВСК равна \(\frac{50 + 12.5\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\) квадратных сантиметров.