Какова площадь сечения, проходящего через середину высоты правильной треугольной пирамиды параллельно боковому ребру

Snegurochka

63

Для решения этой задачи, нам нужно знать, что апофема - это расстояние от вершины пирамиды до середины бокового ребра. Давайте обозначим апофему как $a$ и найдем ее значение.

Известно, что апофема пирамиды является гипотенузой прямоугольного треугольника, одна из катетов которого равна половине основания пирамиды (высоте треугольника), а другой катет равен радиусу вписанного в треугольник круга (радиусу описанной окружности вокруг треугольника). Рассмотрим основание треугольника, оно является равносторонним треугольником, так как речь идет о правильной треугольной пирамиде.

Таким образом, боковое ребро пирамиды, обозначенное как $b$, будет равно значению стороны равностороннего треугольника. Известно, что длина бокового ребра равна 30, поэтому:

$$b=30.$$

Также нам нужно найти высоту треугольника, она будет равна половине длины бокового ребра умноженной на корень из трех, так как это высота равностороннего треугольника:

$$h=\frac{b}{2}\cdot \sqrt{3}=\frac{30}{2}\cdot \sqrt{3}=15\sqrt{3}.$$

Используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника с катетами $h$ и $a$, можем найти апофему:

$$a^2=b^2-h^2={30}^2-(15\sqrt{3}{)}^2=900-225\cdot 3=900-675=225.$$

Теперь найдем площадь сечения, проходящего через середину высоты правильной треугольной пирамиды параллельно боковому ребру. В данном случае сечение будет прямоугольником.

Площадь прямоугольника равна произведению его двух сторон. Одна из сторон равна $b$, а другая сторона будет равна двум апофемам (так как сечение проходит через середину высоты):

$$S=b\cdot 2a=30\cdot 2\cdot \sqrt{225}=30\cdot 2\cdot 15=900.$$

Таким образом, площадь сечения, проходящего через середину высоты правильной треугольной пирамиды параллельно боковому ребру, равна 900.