Какова площадь сечения, проходящего через середину высоты правильной треугольной пирамиды параллельно боковому ребру

Snegurochka

63

Для решения этой задачи, нам нужно знать, что апофема - это расстояние от вершины пирамиды до середины бокового ребра. Давайте обозначим апофему как \(a\) и найдем ее значение.

Известно, что апофема пирамиды является гипотенузой прямоугольного треугольника, одна из катетов которого равна половине основания пирамиды (высоте треугольника), а другой катет равен радиусу вписанного в треугольник круга (радиусу описанной окружности вокруг треугольника). Рассмотрим основание треугольника, оно является равносторонним треугольником, так как речь идет о правильной треугольной пирамиде.

Таким образом, боковое ребро пирамиды, обозначенное как \(b\), будет равно значению стороны равностороннего треугольника. Известно, что длина бокового ребра равна 30, поэтому:

\[b = 30.\]

Также нам нужно найти высоту треугольника, она будет равна половине длины бокового ребра умноженной на корень из трех, так как это высота равностороннего треугольника:

\[h = \frac{b}{2} \cdot \sqrt{3} = \frac{30}{2} \cdot \sqrt{3} = 15\sqrt{3}.\]

Используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника с катетами \(h\) и \(a\), можем найти апофему:

\[a^2 = b^2 - h^2 = 30^2 - (15\sqrt{3})^2 = 900 - 225 \cdot 3 = 900 - 675 = 225.\]

Теперь найдем площадь сечения, проходящего через середину высоты правильной треугольной пирамиды параллельно боковому ребру. В данном случае сечение будет прямоугольником.

Площадь прямоугольника равна произведению его двух сторон. Одна из сторон равна \(b\), а другая сторона будет равна двум апофемам (так как сечение проходит через середину высоты):

\[S = b \cdot 2a = 30 \cdot 2 \cdot \sqrt{225} = 30 \cdot 2 \cdot 15 = 900.\]

Таким образом, площадь сечения, проходящего через середину высоты правильной треугольной пирамиды параллельно боковому ребру, равна 900.