Какова площадь сечения сферы радиусом 20 см, когда плоскость пересекает ее на расстоянии 12 см от центра?

Musya

43

Чтобы решить эту задачу и найти площадь сечения сферы, будем использовать некоторые геометрические свойства сферы и плоскости.

1. Начнем с рисунка, чтобы наглядно представить ситуацию. На рисунке наша сфера будет выглядеть как круг с центром в точке O. Плоскость, которая пересекает сферу, показана в виде прямой линии, проходящей через центр сферы.

2. Обозначим точку пересечения плоскости и сферы как A. Также введем точки B и C на сфере таким образом, чтобы OA, OB и OC были радиусами сферы.

3. Так как плоскость проходит через центр сферы, отрезок OA будет являться высотой, опущенной из центра на плоскость. Также известно, что расстояние между плоскостью и центром сферы составляет 12 см.

4. Теперь мы можем применить теорему Пифагора для прямоугольного треугольника OAB, чтобы найти значение отрезка AB. Так как OA радиус сферы и равен 20 см, а OC - расстояние между плоскостью и центром сферы и равно 12 см, мы можем записать:

\[AB^2 = OA^2 - OB^2\]
\[AB^2 = 20^2 - 12^2\]
\[AB^2 = 400 - 144\]
\[AB^2 = 256\]
\[AB = \sqrt{256}\]
\[AB = 16\] см

5. Теперь мы можем найти площадь треугольника OAB, используя формулу площади треугольника:

\[S_{\triangle OAB} = \frac{1}{2} \cdot OA \cdot AB\]
\[S_{\triangle OAB} = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 16\]
\[S_{\triangle OAB} = 160 \, \text{см}^2\]

6. Ответ: Площадь сечения сферы радиусом 20 см, когда плоскость пересекает ее на расстоянии 12 см от центра, составляет 160 квадратных сантиметров (см²).

Обратите внимание, что для решения этой задачи мы использовали свойства плоского треугольника и теорему Пифагора. Если у вас возникли дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их.