Какова площадь трапеции, если расстояние от центра вписанной окружности до концов боковой стороны равно 9 см и 12

Matvey

41

Для решения этой задачи мы можем использовать следующий алгоритм:

1. Пусть основания трапеции равны \(a\) и \(b\), где \(a\) -- это расстояние между первым концом боковой стороны и центром вписанной окружности, а \(b\) -- это расстояние между вторым концом боковой стороны и центром вписанной окружности.
2. Мы знаем, что основания трапеции параллельны и радиус окружности перпендикулярен к боковой стороне трапеции.
3. Рассмотрим вертикальные треугольники, образованные радиусами окружности, диагоналями трапеции и расстояниями от центра вписанной окружности до концов боковой стороны.
4. Мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения длин диагоналей трапеции, основываясь на известных значениях расстояний от центра вписанной окружности до концов боковой стороны.
5. По теореме Пифагора, для первой диагонали справедливо:
\[
a^2 = r^2 + h_1^2
\]
где \(r\) -- радиус окружности, и \(h_1\) -- расстояние от центра вписанной окружности до первого конца боковой стороны.
6. Аналогично, для второй диагонали:
\[
b^2 = r^2 + h_2^2
\]
где \(h_2\) -- расстояние от центра вписанной окружности до второго конца боковой стороны.
7. Теперь мы можем решить эти уравнения относительно значения радиуса \(r\).
8. Из первого уравнения:
\[
r^2 = a^2 - h_1^2
\]
\[
r = \sqrt{a^2 - h_1^2}
\]
9. А из второго:
\[
r^2 = b^2 - h_2^2
\]
\[
r = \sqrt{b^2 - h_2^2}
\]
10. Из этих равенств можно заметить, что \(r\) одно и то же значение в обоих случаях.
11. После нахождения радиуса, мы можем вычислить площадь трапеции, используя следующую формулу:
\[
S = \frac{a + b}{2} \cdot h
\]
где \(h\) -- это высота трапеции, которая равна \(2r\).

Давайте подставим значения и решим задачу:

Для данной задачи у нас даны значения \(a = 9\) см и \(b = 12\) см.

Теперь можем рассчитать радиус:
\[
r = \sqrt{9^2 - 9^2} = \sqrt{81 - 81} = \sqrt{0} = 0
\]
\[
r = \sqrt{12^2 - 9^2} = \sqrt{144 - 81} = \sqrt{63} \approx 7.937
\]

Поскольку радиус окружности, полученный в процессе решения, оказывается равным нулю для первого диагонали \(a\), то трапеция в этом случае становится прямоугольником.
Если оба радиуса окружности ненулевые, то тогда обе диагонали по формулам выше дают нам одно и то же значение радиуса.
В любом случае, значение радиуса для второй диагонали \(b\) получается равным около 7.937 см.

Далее, высота трапеции равна \(2r = 2 \cdot 7.937 \approx 15.874\) см.

Теперь можем рассчитать площадь трапеции:
\[
S = \frac{9 + 12}{2} \cdot 15.874 = \frac{21}{2} \cdot 15.874 \approx 334.167 \, \text{см}^2
\]

Таким образом, площадь трапеции равна примерно 334.167 квадратных сантиметра.