Зажгли три свечи одинаковой длины, но с разными диаметрами. Длина каждой свечи равна 24 см. Самая толстая свеча

Zvonkiy_Elf

38

Давайте решим эту задачу пошагово.

Обозначим диаметр первой свечи \(d_1\), второй свечи \(d_2\) и третьей свечи \(d_3\). Поскольку все свечи одинаковой длины, то их объем будет пропорционален площади основания свечи. Так как площадь основания пропорциональна квадрату радиуса, можно записать следующее соотношение:

\[
\frac{{d_1^2}}{{4}} : \frac{{d_2^2}}{{4}} : \frac{{d_3^2}}{{4}} = 6 : 4 : x
\]

где \(x\) - время полного сгорания третьей свечи.

Упростим это соотношение, убрав общие множители:

\[
d_1^2 : d_2^2 : d_3^2 = 6 : 4 : x
\]

Поскольку огарок от первой свечи в два раза длиннее, чем от второй, то длина огарка первой свечи составляет \(\frac{2}{3}\) от длины огарка второй свечи. То есть:

\[
\frac{d_1-d_1}{d_2-d_2} = \frac{2}{3}
\]

Теперь, зная, что длина первой свечи составляет 24 см и она сгорает за 6 часов, можем найти радиус первой свечи по формуле:

\[
R_1 = \frac{{d_1}}{2} = \frac{{24}}{2} = 12
\]

Теперь можем найти радиус второй свечи, зная, что огарок второй свечи в два раза короче, и что вторая свеча сгорает за 4 часа:

\[
\frac{{d_1 - d_1}}{d_2 - d_2} = \frac{2}{3} \implies \frac{24 - 12}{12 - R_2} = \frac{2}{3}
\]

Решим это уравнение относительно \(R_2\):

\[
\frac{{12}}{12 - R_2} = \frac{2}{3} \implies 36 = 24 - 2R_2 \implies 2R_2 = 24 - 36 \implies R_2 = 6
\]

Теперь, зная радиус второй свечи, можем найти радиус третьей свечи по тому же принципу:

\[
\frac{{d_2 - d_2}}{d_3 - d_3} = \frac{2}{3} \implies \frac{6 - R_2}{12 - R_3} = \frac{2}{3}
\]

Также решим это уравнение относительно \(R_3\):

\[
\frac{{6 - 6}}{12 - R_3} = \frac{2}{3} \implies \frac{{0}}{12 - R_3} = \frac{2}{3} \implies 0 = 24 - 2R_3 \implies 2R_3 = 24 \implies R_3 = 12
\]

Таким образом, радиус первой свечи равен 12 см, радиус второй свечи равен 6 см, а радиус третьей свечи также равен 12 см.

Используя соотношение объемов свечей, которое мы получили изначально, можем записать:

\[
d_1^2 : d_2^2 : d_3^2 = 6 : 4 : x
\]

Подставим найденные значения:

\[
12^2 : 6^2 : 12^2 = 6 : 4 : x
\]

Выполним несложные вычисления:

\[
\frac{{12^2}}{{6^2}} : \frac{{12^2}}{{6^2}} = \frac{6}{4} : x \implies \frac{{144}}{{36}} : \frac{{144}}{{36}} = \frac{6}{4} : x \implies 4 : 4 = \frac{6}{4} : x \implies 1 = \frac{6}{4x}
\]

Решим это уравнение относительно \(x\):

\[
1 = \frac{{6}}{{4x}} \implies 4x = 6 \implies x = \frac{{6}}{{4}} \implies x = \frac{{3}}{{2}}
\]

Таким образом, время полного сгорания третьей свечи составляет \(\frac{{3}}{{2}}\) часа или 1 час 30 минут.

Ответ: Время полного сгорания третьей свечи составляет 1 час 30 минут.