Какова площадь треугольника BCD, если на стороне AC треугольника АВС отмечена точка D так, что AD = 5 и DC

Andreevich

38

Для решения этой задачи нам понадобятся знания о площади треугольника и свойствах подобных треугольников.

Сначала найдем высоту треугольника ABC, опущенную на сторону AC. По свойству подобных треугольников, соотношение высот треугольников ABC и ABD будет равно соотношению соответствующих сторон:

\(\frac{{h_{ABC}}}{{h_{ABD}}} = \frac{{AC}}{{AD}}\)

Заметим, что треугольник ABC и треугольник ABD имеют общую высоту, которую мы обозначим за h. Также, по условию, AD = 5.

\(\frac{h}{{h - 5}} = \frac{{AC}}{{AD}}\)

Мы знаем, что AC равняется сумме AD и DC, то есть AC = AD + DC. Подставим известные значения:

\(\frac{h}{{h - 5}} = \frac{{5 + 15}}{{5}}\)

Раскроем скобки:

\(\frac{h}{{h - 5}} = \frac{{20}}{{5}}\)

Сократим дробь:

\(\frac{h}{{h - 5}} = 4\)

Умножим обе части уравнения на (h - 5), чтобы избавиться от знаменателя:

\(h = 4h - 20\)

Теперь решим уравнение относительно h:

\(h - 4h = -20\)

\(-3h = -20\)

Разделим обе части уравнения на -3:

\(h = \frac{{-20}}{{-3}}\)

\(h = \frac{{20}}{{3}}\)

Таким образом, высота треугольника ABC равна \(\frac{{20}}{{3}}\).

Теперь мы можем найти площадь треугольника BCD. Площадь треугольника определяется формулой:

\(S = \frac{{1}}{{2}} \cdot \text{{основание}} \cdot \text{{высота}}\)

В нашем случае, основание треугольника BCD равно 15, так как DC = 15. Высота треугольника BCD равна высоте треугольника ABC, то есть \(\frac{{20}}{{3}}\).

Подставим известные значения:

\(S_{BCD} = \frac{{1}}{{2}} \cdot 15 \cdot \frac{{20}}{{3}}\)

Рассчитаем значение:

\(S_{BCD} = \frac{{300}}{{6}}\)

\(S_{BCD} = 50\)

Таким образом, площадь треугольника BCD равна 50.