Какова площадь треугольника, образованного осью ординат и двумя касательными, проведенными из точки а (2;-5), к графику

Zagadochnyy_Ubiyca

26

Чтобы найти площадь треугольника, образованного осью ординат и двумя касательными, проведенными из точки \(A(2,-5)\) к графику функции \(y=x^2-4x+3\), нам понадобится:

1. Найти координаты точек касания касательных с графиком функции.
2. Найти длину основания треугольника.
3. Вычислить площадь треугольника, используя полученные данные.

Шаг 1: Найдем координаты точек касания касательных с графиком функции.

Чтобы найти точку касания касательной с функцией, нужно найти производную функции и подставить координаты точки в уравнение касательной.

Уравнение функции \(y=x^2-4x+3\) имеет вид \(y"=2x-4\). Это уравнение даёт нам производную функции.

Теперь нужно подставить координаты точки \(A(2,-5)\) и найти \(x\)-координату точки касания. Подставив значения, получим:

\[
-5 = 2 \cdot (2) - 4
\]

решив это уравнение, найдем \(x\) координату точки касания:

\[
-5 = 4 - 4
\]
\[
0 = 0
\]

Из этого получаем, что \(x = 2\). Таким образом, точка касания будет иметь координаты \(T(2,0)\).

Шаг 2: Найдем длину основания треугольника.

Основание треугольника - это отрезок между точками касания с графиком функции и осью ординат. В данном случае, основание - это отрезок между точками \(T(2,0)\) и \(O(0,0)\).

Длина основания равна расстоянию между этими двумя точками, так как они лежат на оси ординат и их \(y\)-координаты равны нулю.

Используя формулу для расстояния между двумя точками на плоскости:

\[
d = \sqrt{{(x_2 - x_1)}^2 + {(y_2 - y_1)}^2}
\]

подставим координаты точек:

\[
d = \sqrt{{(0 - 2)}^2 + {(0 - 0)}^2} = \sqrt{{4 + 0}} = \sqrt{4} = 2
\]

Теперь мы знаем, что длина основания треугольника равна 2.

Шаг 3: Вычислим площадь треугольника.

Площадь треугольника можно найти, используя формулу площади прямоугольного треугольника:

\[
S = \frac{1}{2} \times y \times d
\]

где \(y\) - это координата точки касания с графиком функции (в данном случае \(y = 0\)), а \(d\) - длина основания (в данном случае \(d = 2\)).

Подставим известные значения:

\[
S = \frac{1}{2} \times 0 \times 2 = 0
\]

Таким образом, площадь треугольника равна нулю.