Какова площадь впрямоугольной трапеции, если меньшая основа равна 3 см, большая боковая сторона равна 4 см и один

Zvezdnyy_Lis

40

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать формулу для площади впрямоугольной трапеции. Формула для площади такой трапеции выглядит так:

\[S = \frac{h}{2} \cdot (a + b),\]

где \(S\) - площадь трапеции, \(h\) - высота трапеции (расстояние между основаниями), \(a\) - длина меньшей основы, и \(b\) - длина большей боковой стороны.

Нам дано, что меньшая основа равна 3 см (\(a = 3\) см), большая боковая сторона равна 4 см (\(b = 4\) см) и один из углов трапеции равен 150 градусов.

Для решения задачи нам нужно найти высоту трапеции (\(h\)).

Возьмем триангулярную верхнюю часть трапеции и нарисуем прямую линию, соединяющую вершину угла 150 градусов и основание трапеции. Поскольку трапеция является впрямоугольной, этот треугольник также будет прямоугольным.

Так как сумма углов треугольника равна 180 градусов, мы можем найти меру третьего угла, используя следующее соотношение:

\[\text{мера третьего угла} = 180 - 90 - 150.\]

Посчитав, мы получаем \(\text{мера третьего угла} = 180 - 90 - 150 = -60\) градусов.

Учитывая, что углы в треугольнике не могут быть отрицательными, мы примем \(\text{мера третьего угла} = 180 - (-60) = 240\) градусов.

Теперь мы можем применить теорему синусов, чтобы найти высоту треугольника. Теорема синусов формулируется так:

\[\frac{a}{\sin(A)} = \frac{h}{\sin(C)},\]

где \(a\) - длина стороны, противолежащей углу \(A\), \(h\) - высота треугольника, и \(C\) - противолежащий угол высоты.

У нас есть сторона 4 см (\(a = 4\) см) и угол 150 градусов (\(A\)). Третий угол треугольника равен 240 градусов (\(C\)).

Подставляя известные значения в теорему синусов, получим:

\[\frac{4}{\sin(150)} = \frac{h}{\sin(240)}.\]

Теперь мы можем решить это уравнение относительно \(h\). Обратите внимание, что мы используем синусы углов в радианах, поэтому мы должны перевести градусы в радианы:

\[\frac{4}{\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right)} = \frac{h}{\sin\left(\frac{4\pi}{3}\right)}.\]

Вычисляя значения синусов, получим:

\[\frac{4}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{h}{-\frac{\sqrt{3}}{2}}.\]

Сокращая обе части уравнения на \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) и умножая обе части на -1 для упрощения, получим:

\[\frac{8}{\sqrt{3}} = h.\]

Теперь, когда у нас есть высота (\(h\)), мы можем подставить ее в формулу для площади трапеции:

\[S = \frac{h}{2} \cdot (a + b).\]

Подставив известные значения, получим:

\[S = \frac{\frac{8}{\sqrt{3}}}{2} \cdot (3 + 4).\]

Упрощая выражение, получим:

\[S = \frac{4}{\sqrt{3}} \cdot 7.\]

Чтобы сделать ответ более точным, умножим и разделим числитель и знаменатель на \(\sqrt{3}\):

\[S = \frac{4 \cdot 7}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}.\]

Упрощая, получим:

\[S = \frac{28 \sqrt{3}}{3}\text{ кв.см}.\]

Итак, площадь впрямоугольной трапеции составляет \(\frac{28 \sqrt{3}}{3}\) квадратных сантиметров.