Какова площадь закрашенной области на рисунке сектора круга с радиусом 8 см, центром в точке O, где OD = 2 см и

Алла

2

Рассмотрим задачу напроблему. У нас имеется сектор круга с радиусом 8 см, центром в точке O, и угол DOC равен 45 градусов. Также дано, что OD = 2 см.

Первым шагом, чтобы найти площадь закрашенной области, нам необходимо найти площадь всего сектора круга. Формула для вычисления площади сектора круга задается следующим образом:

\[ S_{\text{сектора}} = \frac{n \cdot r^2 \cdot \alpha}{360^\circ} \],

где \( n \) - площадь круга (приближенно принимается равной 3.14), \( r \) - радиус круга, а \( \alpha \) - центральный угол в градусах.

В нашем случае, \( n = 3.14 \), \( r = 8 \) см и \( \alpha = 45 \) градусов. Подставим значения в формулу, чтобы найти площадь сектора:

\[ S_{\text{сектора}} = \frac{3.14 \cdot 8^2 \cdot 45}{360} \],

\[ S_{\text{сектора}} = \frac{3.14 \cdot 64 \cdot 45}{360} \].

Выполняя простые вычисления, получим:

\[ S_{\text{сектора}} = \frac{904.32}{360} \].

\[ S_{\text{сектора}} \approx 2.51 \] (округленно до двух знаков после запятой).

Теперь, когда у нас есть площадь сектора, давайте рассмотрим треугольник DCO, где одна сторона треугольника - это радиус круга, а другие две стороны - это отрезки до точек пересечения радиуса и дуги.

Мы знаем, что OD = 2 см, а DC - это радиус круга, то есть 8 см. Для нахождения площади треугольника воспользуемся формулой Герона, поскольку у нас даны длины всех трёх сторон:

\[ S_{\text{треугольника}} = \sqrt{p \cdot (p - a) \cdot (p - b) \cdot (p - c)} \],

где \( p \) - полупериметр треугольника, \( a \), \( b \), \( c \) - длины сторон треугольника.

Посчитаем полупериметр \( p \):

\[ p = \frac{a + b + c}{2} \],

\[ p = \frac{2 + 8 + 8}{2} \],

\[ p = 9 \].

Теперь мы можем вычислить площадь треугольника:

\[ S_{\text{треугольника}} = \sqrt{9 \cdot (9 - 2) \cdot (9 - 8) \cdot (9 - 8)} \],

\[ S_{\text{треугольника}} = \sqrt{9 \cdot 7 \cdot 1 \cdot 1} \],

\[ S_{\text{треугольника}} = \sqrt{63} \],

\[ S_{\text{треугольника}} \approx 7.94 \] (округленно до двух знаков после запятой).

Теперь, чтобы найти площадь закрашенной области, мы вычитаем площадь треугольника из площади сектора:

\[ S_{\text{закрашенной области}} = S_{\text{сектора}} - S_{\text{треугольника}} \],

\[ S_{\text{закрашенной области}} \approx 2.51 - 7.94 \],

\[ S_{\text{закрашенной области}} \approx -5.43 \] (округленно до двух знаков после запятой).

Ответ: площадь закрашенной области на рисунке сектора круга составляет около -5.43 квадратных сантиметра.