Какова полная поверхность пирамиды, если ее объем равен 25, а радиус вписанного в нее шара равен 1,5?

Margo

26

Для решения этой задачи нам понадобится использовать некоторые формулы и свойства геометрии.

Пусть \(S\) - полная поверхность пирамиды, \(V\) - ее объем, \(r\) - радиус вписанного в нее шара. Нам известно, что \(V = 25\) и \(r = 1.5\).

Полная поверхность пирамиды состоит из площади ее основания и площади боковой поверхности.

Площадь основания пирамиды можно вычислить по формуле площади круга: \(S_{\text{осн}} = \pi r^2\), где \(\pi\) - математическая константа, примерное значение которой равно 3.14.

Теперь давайте вычислим площадь боковой поверхности пирамиды. Мы знаем, что боковая поверхность пирамиды представляет собой несколько равнобедренных треугольников, у которых основание - это окружность с радиусом равным радиусу вписанного шара, а высота равна высоте пирамиды. Для нахождения площади одного такого треугольника можно использовать формулу: \(S_{\text{тр}} = \frac{1}{2} \times \text{осн} \times \text{выс}\).

Высоту пирамиды мы не знаем, но можем ее выразить через другую величину. Для этого воспользуемся свойством: радиус вписанного шара пирамиды, основание которой - правильный многоугольник, равен половине высоты пирамиды. Обозначим высоту пирамиды как \(h\), тогда получаем: \(r = \frac{h}{2}\).

Подставив это выражение для высоты в формулу площади треугольника, получаем: \(S_{\text{тр}} = \frac{1}{2} \times \pi r \times h\).

Так как боковая поверхность пирамиды состоит из нескольких таких треугольников, то полная площадь боковой поверхности пирамиды равна: \(S_{\text{бок}} = S_{\text{тр}} \times \text{количество треугольников}\).

Теперь, чтобы найти полную поверхность пирамиды, нам нужно сложить площадь основания и площадь боковой поверхности: \(S = S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}}\).

Этот подход позволяет нам найти полную поверхность пирамиды, когда известны ее объем и радиус вписанного в нее шара.

Теперь давайте применим данную методику к нашей задаче.

1. Найдем площадь основания пирамиды:
\(S_{\text{осн}} = \pi r^2 = 3.14 \times 1.5^2 = 7.065\).

2. Теперь рассчитаем боковую поверхность пирамиды.
Для этого нам сначала нужно найти высоту пирамиды. Из свойства радиуса вписанного шара пирамиды и основания, представляющего собой правильный многоугольник, мы знаем, что \(r = \frac{h}{2}\).
Подставим известное значение радиуса в формулу и найдем высоту: \(h = 2 \times r = 2 \times 1.5 = 3\).

Теперь рассчитаем площадь одного треугольника:
\(S_{\text{тр}} = \frac{1}{2} \times \pi r \times h = \frac{1}{2} \times 3.14 \times 1.5 \times 3 = 7.065\).

Количество треугольников равно количеству граней пирамиды. Для правильной пирамиды количество граней равно 4.

Поэтому общая площадь боковой поверхности пирамиды равна:
\(S_{\text{бок}} = S_{\text{тр}} \times \text{количество треугольников} = 7.065 \times 4 = 28.26\).

3. Теперь сложим площадь основания и площадь боковой поверхности для получения полной поверхности пирамиды:
\(S = S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}} = 7.065 + 28.26 = 35.325\).

Таким образом, полная поверхность пирамиды равна 35.325.