1. Какое уравнение описывает окружность с центром в точке М и радиусом R, если М(-3; 2) и R = 2? Проходит ли данная

Serdce_Okeana_6752

21

1. Уравнение окружности можно записать в виде \((x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\), где \((a, b)\) - координаты центра окружности, а \(r\) - радиус.
В данном случае центр окружности М(-3; 2), а радиус R = 2. Подставляя значения в формулу, получаем \((x+3)^2 + (y-2)^2 = 2^2\).
Чтобы проверить, проходит ли окружность через точку D(-3; 4), подставим координаты D в уравнение окружности. Получаем \((-3+3)^2 + (4-2)^2 = 0^2 + 2^2 = 4\), что соответствует радиусу R^2. Значит, окружность проходит через точку D(-3; 4).

2. Уравнение прямой можно найти, используя формулу наклона прямой и координаты одной из точек.
Наклон прямой равен \(k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\), где \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\) - координаты двух точек на прямой.
В данном случае, точки C(-3; 1) и D(-5; 9). Подставляя значения в формулу, получаем \(k = \frac{9 - 1}{-5 - (-3)} = \frac{8}{-2} = -4\).
Теперь воспользуемся формулой прямой \(y - y_1 = k(x - x_1)\), подставляя значения и получаем \(y - 1 = -4(x + 3)\), что дает уравнение прямой CD.

3. Чтобы найти координаты точки пересечения двух прямых, подставим одно уравнение в другое и решим полученное уравнение относительно х или у.
У нас есть два уравнения: \(-3x - y + 1 = 0\) и \(4x + 3y + 7 = 0\).
Перенесем все члены в левую часть и заменим \(y\) во втором уравнении на выражение в \(х\) из первого уравнения:
\(-3x - y + 1 = 0 \Rightarrow y = -3x + 1\).
Подставим второе уравнение: \(4x + 3(-3x + 1) + 7 = 0\).
Раскрываем скобки и решаем полученное уравнение: \(4x - 9x + 3 + 7 = 0 \Rightarrow -5x + 10 = 0 \Rightarrow x = -2\).
Теперь найдем значение \(y\) подставив \(x\) в первое уравнение: \(-3(-2) - y + 1 = 0 \Rightarrow 6 - y + 1 = 0 \Rightarrow -y + 7 = 0 \Rightarrow y = 7\).
Таким образом, точка пересечения прямых имеет координаты (-2; 7).

4. (а) Чтобы найти координаты точек А и В, где прямая пересекает оси координат, подставим \(x = 0\) и \(y = 0\) в уравнение прямой и решим соответствующую систему уравнений.
Когда \(x = 0\), получаем \(4 \cdot 0 + 3y - 24 = 0 \Rightarrow 3y = 24 \Rightarrow y = \frac{24}{3} = 8\).
Таким образом, точка А имеет координаты (0; 8).
Когда \(y = 0\), получаем \(4x + 3 \cdot 0 - 24 = 0 \Rightarrow 4x = 24 \Rightarrow x = \frac{24}{4} = 6\).
Таким образом, точка В имеет координаты (6; 0).

(б) Координаты середины отрезка можно найти, используя формулы для нахождения среднего значения \(x\) и \(y\) из координат двух точек.
Среднее значение \(x\) равно \(\frac{x_1 + x_2}{2}\), где \(x_1\) и \(x_2\) - координаты концов отрезка.
Среднее значение \(y\) равно \(\frac{y_1 + y_2}{2}\), где \(y_1\) и \(y_2\) - координаты концов отрезка.
В данном случае, координаты А (0; 8) и В (6; 0).
Среднее значение \(x\) равно \(\frac{0 + 6}{2} = 3\).
Среднее значение \(y\) равно \(\frac{8 + 0}{2} = 4\).
Таким образом, координаты середины отрезка АВ равны (3; 4).

(в) Длину отрезка можно найти, используя формулу расстояния между двумя точками.
Расстояние между точками А(0; 8) и В(6; 0) равно \(\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\).
Подставляем значения и решаем:
\(\sqrt{(6 - 0)^2 + (0 - 8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\).
Таким образом, длина отрезка АВ равна 10.

5. Чтобы найти координаты точки О, где пересекаются прямые \(y = x + 4\) и \(y = -2x + 1\), нужно решить систему уравнений из этих прямых.
Подставим значение \(y\) из первого уравнения во второе: \(x + 4 = -2x + 1\).
Соберем все слагаемые с \(x\) в левую часть, а остальные числа в правую: \(x + 2x = 1 - 4 \Rightarrow 3x = -3 \Rightarrow x = -1\).
Теперь найдем значение \(y\) подставив \(x\) в любое из уравнений: \(y = -1 + 4 = 3\).
Таким образом, координаты точки О равны (-1; 3).

Уравнение окружности с центром O и радиусом R можно записать в виде \((x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2\), где (a, b) - координаты центра окружности, а R - радиус окружности.