Какова потенциальная энергия в точке с координатами (x, y, z)? Величина центральной силы изменяется с расстоянием

Золотой_Король_4846

52

Хорошо, давайте решим задачу. Для начала, давайте разберемся, что такое потенциальная энергия. Потенциальная энергия - это энергия, которая связана с положением или конфигурацией объекта. Она зависит от взаимодействия между объектами и определяется их взаимным расположением.

В данной задаче, у нас есть центральная сила, которая зависит от расстояния и задается формулой f=k·r^(-2h), где k - константа силы, r - расстояние от точки до центра, а h - любая константа.

Чтобы найти потенциальную энергию в точке с координатами (x, y, z), мы должны интегрировать силу по пути от бесконечности до этой точки:

\[ U = - \int_{\infty}^{(x, y, z)} f \, dr \]

Раскроем выражение для силы:

\[ U = - \int_{\infty}^{(x, y, z)} k \cdot r^{-2h} \, dr \]

Так как значение потенциальной энергии на бесконечности считается равным нулю, то интегрирование будет происходить с бесконечности до (x, y, z).

Давайте произведем замену переменных, чтобы упростить интеграл. Пусть u = r^(1-2h), тогда dr = (1-2h)u^[(1-2h)/2]du.

После замены переменных получим:

\[ U = - k \int_{\infty}^{(x, y, z)} u^{-2h} \cdot (1-2h)u^[(1-2h)/2] \, du \]

Упростим:

\[ U = - k(1-2h) \int_{\infty}^{(x, y, z)} u^[-2h + (1-2h)/2] \, du \]

\[ U = - k(1-2h) \int_{\infty}^{(x, y, z)} u^[(2-4h+1-2h)/2] \, du \]

\[ U = - k(1-2h) \int_{\infty}^{(x, y, z)} u^[-3h/2] \, du \]

\[ U = - k(1-2h) \left[ \frac{u^{-3h/2+1}}{-3h/2+1} \right]_{\infty}^{(x, y, z)} \]

\[ U = - k(1-2h) \left( \frac{(x^2+y^2+z^2)^{-3h/2+1}}{-3h/2+1} - \frac{\infty^{-3h/2+1}}{-3h/2+1} \right) \]

Так как \(\infty^{-3h/2+1}\) равно нулю, получаем:

\[ U = k(1-2h) \left( \frac{(x^2+y^2+z^2)^{-3h/2+1}}{-3h/2+1} \right) \]

Давайте подставим значения k=2 н·м² и h=1, чтобы получить окончательный ответ:

\[ U = 2(1-2\cdot1) \left( \frac{(x^2+y^2+z^2)^{-3/2+1}}{-3/2+1} \right) \]

\[ U = -2 \left( \frac{1}{(x^2+y^2+z^2)^{1/2}} \right) \]

Таким образом, потенциальная энергия в точке с координатами (x, y, z) равна -2/(x^2+y^2+z^2)^(1/2).