Какова производная функции f(x) = 1,5cos2x - 5sin3x?

Луна_В_Омуте_8031

42

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово. Чтобы найти производную функции \(f(x) = 1.5\cos^2(x) - 5\sin^3(x)\), мы будем применять правила дифференцирования поочередно для каждого слагаемого.

Шаг 1: Найдем производную первого слагаемого \(1.5\cos^2(x)\). Для этого мы будем использовать правило дифференцирования для произведения функций.

Правило гласит: \((f(x)g(x))" = f"(x)g(x) + f(x)g"(x)\), где \(f(x)\) и \(g(x)\) - функции, а \(f"(x)\) и \(g"(x)\) - их производные.

В нашем случае, \(f(x) = 1.5\cos^2(x)\). Чтобы найти производную \(f"(x)\), мы должны взять производные обеих функций.

Первая функция - это константа 1.5, производная которой равна нулю. Вторая функция - это \(\cos^2(x)\).

Теперь найдем производную \(\cos^2(x)\). Мы можем воспользоваться цепным правилом дифференцирования, которое гласит: \((f(g(x)))" = f"(g(x)) \cdot g"(x)\).

В нашем случае, \(f(u) = u^2\) и \(g(x) = \cos(x)\). Производная \(\cos(x)\) равна \(-\sin(x)\). Производная \(u^2\) равна \(2u\).

Применяя цепное правило дифференцирования, мы получаем: \(\left(\cos^2(x)\right)" = 2\cos(x) \cdot (-\sin(x))\)

Теперь мы можем вернуться к первому слагаемому и подставить найденные производные:

\[
\left(1.5\cos^2(x)\right)" = 1.5 \cdot 2\cos(x) \cdot (-\sin(x))
\]

Шаг 2: Теперь найдем производную второго слагаемого \(-5\sin^3(x)\). Для этого также воспользуемся правилом дифференцирования для произведения функций.

У нас есть две функции: \(f(x) = -5\) и \(g(x) = \sin^3(x)\). Производная постоянной функции \(f(x)\) равна нулю.

Теперь найдем производную \(\sin^3(x)\). Мы снова можем воспользоваться цепным правилом дифференцирования.

В нашем случае, \(f(u) = u^3\) и \(g(x) = \sin(x)\). Производная \(\sin(x)\) равна \(\cos(x)\). Производная \(u^3\) равна \(3u^2\).

Применяя цепное правило, получаем: \(\left(\sin^3(x)\right)" = 3\sin^2(x) \cdot \cos(x)\)

Теперь мы можем вернуться ко второму слагаемому:

\(\left(-5\sin^3(x)\right)" = -5 \cdot 3\sin^2(x) \cdot \cos(x)\)

Шаг 3: Теперь сложим производные обоих слагаемых:

\(\left(1.5\cos^2(x) - 5\sin^3(x)\right)" = 1.5 \cdot 2\cos(x) \cdot (-\sin(x)) - 5 \cdot 3\sin^2(x) \cdot \cos(x)\)

Упрощая это выражение, получаем:

\(\left(1.5\cos^2(x) - 5\sin^3(x)\right)" = -3\cos(x)\sin(x) - 15\sin^2(x)\cos(x)\)

Это и есть производная функции \(f(x)\). Надеюсь, эта пошаговая процедура помогла вам понять, как получить этот ответ.