Какова производная функции h(x) = 4x + 1/x + 3? Каково значение h(-2)?

Dimon

47

Хорошо, давайте начнем с решения задачи. У нас есть функция h(x) = 4x + 1/x + 3, и мы хотим найти ее производную. Для этого мы будем использовать правила дифференцирования функций.

Прежде всего, чтобы найти производную функции, мы должны поочередно продифференцировать каждый ее компонент. Для этой функции у нас есть три компонента: 4x, 1/x и 3.

Начнем с первого компонента, 4x. Дифференциалом произведения функции над константой \(C\) и функции \(f(x)\) является произведение производной функции \(f(x)\) и константы \(C\). Таким образом, производная \(d/dx (4x)\) равна \(4 \cdot d/dx (x)\), и она равна просто 4.

Затем перейдем ко второму компоненту, 1/x. Здесь нам понадобится использовать правило дифференцирования обратной функции. Производная обратной функции \(1/f(x)\) равна \(-f"(x)/f(x)^2\). Применяя это правило к нашей функции, мы получаем производную \(d/dx (1/x)\), которая равна \(-1/x^2\).

И, наконец, производная последнего компонента, 3, равна нулю. Так как 3 является константой, ее производная равна нулю.

Теперь, чтобы найти производную функции h(x), мы просто складываем производные каждого компонента:

\[
h"(x) = 4 - \frac{1}{{x^2}}
\]

Теперь, чтобы найти значение h(-2), мы можем вставить x = -2 в исходную функцию h(x) и вычислить результат:

\[
h(-2) = 4(-2) + \frac{1}{(-2)} + 3
\]

Упрощая это выражение, мы получаем:

\[
h(-2) = -8 - \frac{1}{2} + 3
\]

Далее, выполняя арифметические операции, мы получаем окончательный результат:

\[
h(-2) = -8 - \frac{1}{2} + 3 = -\frac{13}{2}
\]

Таким образом, производная функции h(x) равна \(4 - \frac{1}{{x^2}}\) и значение h(-2) равно \(-\frac{13}{2}\).