а) Координаты центра и радиус сферы ищутся из уравнения x² + y² + z² - 4x + 6y = 36. б) Каково взаимное расположение

Suzi

41

а) Поиск координат центра и радиуса сферы из уравнения

Для нахождения координат центра и радиуса сферы из уравнения \(x^2 + y^2 + z^2 - 4x + 6y = 36\), нам необходимо привести уравнение сферы к стандартному виду.

1. Сначала преобразуем уравнение:
\[x^2 - 4x + y^2 + 6y + z^2 = 36\]

2. Завершаем квадрат, добавляя и вычитая константы:
\[(x^2 - 4x + 4) + (y^2 + 6y + 9) + z^2 = 36 + 4 + 9\]
\[(x - 2)^2 + (y + 3)^2 + z^2 = 49\]

Теперь у нас уравнение окружности в стандартной форме:
\[(x - h)^2 + (y - k)^2 + (z - l)^2 = r^2\]

Сравнивая с нашим уравнением, получаем:
- Координаты центра сферы: \( h = 2, k = -3, l = 0 \)
- Радиус сферы: \( r = \sqrt{49} = 7 \)

б) Взаимное расположение сферы и плоскости

У нас есть сфера с центром в точке (2, -3, 0) и радиусом 7, а также плоскость \(x = -6\).

Теперь определим взаимное расположение сферы и плоскости:
1. Найдем расстояние между центром сферы и плоскостью:
\[d = |-6 - 2| = 8\]

2. Определим, как это расстояние соотносится с радиусом сферы:
- Если расстояние \(d\) больше радиуса сферы, то сфера и плоскость не пересекаются и не касаются.
- Если расстояние \(d\) равно радиусу сферы, то сфера и плоскость касаются друг друга.
- Если расстояние \(d\) меньше радиуса сферы, то сфера и плоскость пересекаются.

Исходя из расчетов, видим, что расстояние от центра сферы до плоскости равно 8, а радиус сферы равен 7. Следовательно, плоскость \(x = -6\) пересекает сферу.

Таким образом, взаимное расположение сферы и плоскости таково, что они пересекаются.