Какова производная функции y=e^x^2-3/4*arccos x в точке x0 = sqrt(3)/2?

Zolotoy_Ray

18

Для решения данной задачи, мы будем использовать метод дифференцирования сложной функции (chain rule) и формулы для нахождения производных элементарных функций. Воспользуемся следующими шагами:

Шаг 1: Найдем производную функции \(y = e^{x^2} - \frac{3}{4}\arccos(x)\).
Для нахождения производной суммы двух функций, необходимо найти производные каждой функции по отдельности и сложить их.
Найдем производную первой функции \(e^{x^2}\):
\(\frac{d}{dx}e^{x^2} = 2xe^{x^2}\), используя формулу для производной функции \(e^u\), где \(u = x^2\).

Для нахождения производной второй функции \(-\frac{3}{4}\arccos(x)\) воспользуемся формулой производной для арккосинуса:
\(\frac{d}{dx}\arccos(x) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\), используя формулу для производной функции \(\arccos(u)\), где \(u = x\).

Шаг 2: Найдем производную композиции функций \((e^{x^2} - \frac{3}{4}\arccos(x))"\).
Применим метод дифференцирования сложной функции (chain rule):
\((f(g(x)))" = f"(g(x))\cdot g"(x)\), где \(f(u) = e^u\) и \(g(x) = x^2\).

Таким образом, производная функции \(y = e^{x^2} - \frac{3}{4}\arccos(x)\) равна:
\(y" = (2xe^{x^2}) - (\frac{3}{4}\cdot -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}})\).

Шаг 3: Вычислим производную функции \(y\) в точке \(x_0 = \frac{\sqrt{3}}{2}\).
Для этого подставим \(x_0\) в формулу для производной:
\(y" = (2x_0 e^{x_0^2}) - (\frac{3}{4}\cdot -\frac{1}{\sqrt{1-x_0^2}})\).

Сделаем подстановку \(x_0 = \frac{\sqrt{3}}{2}\) в формулу и упростим выражение:
\(y" = (2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}e^{(\frac{\sqrt{3}}{2})^2}) - (\frac{3}{4}\cdot -\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{\sqrt{3}}{2})^2}})\).

Для упрощения расчетов вычислим значения в скобках:
\((\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{3}{4}\), а также \(\sqrt{1-(\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{1-\frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}\).

Теперь можно продолжить расчет:
\(y" = (2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}e^{\frac{3}{4}}) - (\frac{3}{4}\cdot -\frac{1}{\frac{1}{2}})\).
\(y" = (\sqrt{3}e^{\frac{3}{4}}) - (\frac{3}{4}\cdot -2)\).
\(y" = \sqrt{3}e^{\frac{3}{4}} + \frac{6}{4}\).
\(y" = \sqrt{3}e^{\frac{3}{4}} + \frac{3}{2}\).

Таким образом, производная функции \(y = e^{x^2} - \frac{3}{4}\arccos(x)\) в точке \(x_0 = \frac{\sqrt{3}}{2}\) равна \(\sqrt{3}e^{\frac{3}{4}} + \frac{3}{2}\).