Каково сравнение значений sin пи/8 и sin 2пи/5?

Apelsinovyy_Sherif

53

Конечно! Для начала, нам потребуется некоторое знание о тригонометрических функциях синус. Тригонометрические функции связаны с геометрическими свойствами треугольников и описывают отношение между длиной сторон треугольника и значениями углов.

Тригонометрическая функция синус (sin) возвращает отношение противолежащего катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике. Значение синуса всегда находится в пределах от -1 до 1.

Теперь давайте рассмотрим задачу. Нам дано сравнение значений sin (π/8) и sin (2π/5). Для начала вычислим значение sin (π/8).

Для решения этой задачи, нам понадобится знание о нескольких точных значениях тригонометрических функций. Sin (π/6) = 1/2, sin (π/4) = √2/2 и sin (π/3) = √3/2.

Используя эти значения, мы можем привести значение sin (π/8) к более простым тригонометрическим функциям. Разложим sin (π/8) в сумму двух углов: sin (π/8) = sin ((π/4) - (π/6)).

Мы можем использовать тригонометрическую формулу для sin (A - B):

sin (A - B) = sin A * cos B - cos A * sin B.

Применим эту формулу:

sin (π/8) = sin (π/4) * cos (π/6) - cos (π/4) * sin (π/6).

Подставим значения sin (π/4) = √2/2 и sin (π/6) = 1/2:

sin (π/8) = (√2/2) * (√3/2) - (√2/2) * (1/2).

Упростим выражение:

sin (π/8) = (√6 - √2) / 4.

Теперь перейдем к вычислению sin (2π/5). Здесь нам понадобится другая тригонометрическая формула:

sin (2A) = 2 * sin A * cos A.

Применим эту формулу к sin (2π/5):

sin (2π/5) = 2 * sin (π/5) * cos (π/5).

Так как sin (π/6) = 1/2 и cos (π/6) = √3/2, мы можем подставить эти значения и получить:

sin (2π/5) = 2 * (1/2) * (√3/2).

Упростим выражение:

sin (2π/5) = (√3) / 2.

Итак, у нас есть значения sin (π/8) и sin (2π/5):

sin (π/8) = (√6 - √2) / 4,

sin (2π/5) = (√3) / 2.

Теперь можем сравнить эти значения. Выражение (\(\frac{{\sqrt{6} - \sqrt{2}}}{4}\)) примерно равно 0.107 и \(\frac{{\sqrt{3}}}{2}\) примерно равно 0.866.

Округлим числа до трех знаков после запятой:

sin (π/8) ≈ 0.107,

sin (2π/5) ≈ 0.866.

Таким образом, значение sin (2π/5) больше, чем значение sin (π/8).

Надеюсь, объяснение было понятным и полезным для вас! Если у вас возникли еще вопросы, не стесняйтесь задавать!