Какова разность и значение первого члена в арифметической прогрессии, где сумма седьмого и девятого членов равна

Солнечный_Берег

50

Для решения данной задачи мы можем использовать систему уравнений, основанную на свойствах арифметической прогрессии.

Пусть первый член арифметической прогрессии равен \(a\), а её разность равна \(d\).

Исходя из условия задачи, нам дано, что сумма седьмого и девятого членов равна 12. По определению, седьмой член равен \(a + 6d\), а девятый член равен \(a + 8d\). Таким образом, мы можем записать следующее уравнение:

\((a + 6d) + (a + 8d) = 12\)

Упрощая его, получим:

\(2a + 14d = 12\) (Уравнение 1)

Далее нам дано, что произведение шестого и десятого членов равно -28. По определению, шестой член равен \(a + 5d\), а десятый член равен \(a + 9d\). Таким образом, мы можем записать следующее уравнение:

\((a + 5d) \cdot (a + 9d) = -28\)

Проводя раскрытие скобок и упрощение этого уравнения, получим:

\(a^2 + 14ad + 45d^2 = -28\) (Уравнение 2)

Теперь у нас есть система из двух уравнений (1) и (2), которую мы можем решить для определения значений \(a\) и \(d\).

Существует несколько способов решения этой системы уравнений, например, методом подстановки или методом исключения переменных. Я воспользуюсь вторым способом.

Мы можем умножить уравнение (1) на 7, чтобы избавиться от коэффициента при \(a\):

\(14a + 98d = 84\) (Уравнение 3)

Теперь мы можем вычесть уравнение (3) из уравнения (2):

\((a^2 + 14ad + 45d^2) - (14a + 98d) = (-28) - 84\)

Произведя все необходимые вычисления и упрощения, получим:

\(a^2 + 31d^2 = -112\) (Уравнение 4)

Теперь у нас есть уравнение (4), которое нам позволит найти значения \(a\) и \(d\).

Мы можем решить это уравнение, сделав замену переменной \(x = a + d\), тогда уравнение (4) примет вид:

\(x^2 - 2xd + 33d^2 = -112\)

Теперь представим, что у нас есть квадратный трином \((x - y)^2\), где \(y\) - неизвестное число. Распишем его:

\(x^2 - 2xy + y^2\)

Сравнивая это с нашим уравнением, мы видим, что \(y^2\) должно быть равно 33d^2, а -2xy должно быть равно -2xd. Следовательно, мы можем сделать вывод, что \(y = \sqrt{33} \cdot d\).

Теперь обратно заменим \(x = a + d\) и \(y = \sqrt{33} \cdot d\). Получим:

\(a + d = \sqrt{33} \cdot d\)

Разрешим это уравнение относительно \(a\):

\(a = (\sqrt{33} - 1) \cdot d\) (Уравнение 5)

Мы нашли выражение для \(a\) через \(d\). Теперь подставим это выражение в уравнение (1):

\(2 \cdot (\sqrt{33} - 1) \cdot d + 14d = 12\)

Упростим это уравнение:

\(2 \sqrt{33} \cdot d + 14d - 2 \cdot d = 12\)

Из этого уравнения мы можем найти значение \(d\):

\(16d = 12\)

\(d = \frac{12}{16} = \frac{3}{4}\)

Теперь, зная значение \(d\), мы можем найти значение \(a\) из уравнения (5):

\(a = (\sqrt{33} - 1) \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{4} \cdot \sqrt{33} - \frac{3}{4}\)

Таким образом, разность первого члена арифметической прогрессии равна \(\frac{3}{4}\), а значение первого члена равно \(\frac{3}{4} \cdot \sqrt{33} - \frac{3}{4}\).