Каковы координаты точки минимума для функции y=log5(x^2-30x+249)+8?

Ariana

69

Для нахождения координат точки минимума данной функции, нам необходимо применить метод дифференцирования и решить уравнение, полученное в результате.

Шаг 1: Найдем производную функции y по x. Воспользуемся правилами дифференцирования и цепным правилом:

\[y" = \frac{d}{dx} \left( \log_5(x^2-30x+249) + 8 \right)\]

Дифференцирование логарифма будет требовать применения цепного правила. Производная натурального логарифма \(\ln(x)\) равна \(\frac{1}{x}\). Чтобы применить этот результат для логарифма с любым основанием \(a\), используем формулу \(\log_a(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(a)}\):

\[y" = \frac{1}{\ln(5)} \cdot \frac{1}{(x^2-30x+249)} \cdot \frac{d}{dx} (x^2-30x+249) + 0\]

Шаг 2: Упрощаем выражение:

\[y" = \frac{1}{\ln(5)} \cdot \frac{1}{(x^2-30x+249)} \cdot (2x-30)\]

Шаг 3: Найдем точки, в которых производная равна нулю, чтобы исследовать экстремумы функции. Для этого приравняем \(y"\) к нулю и решим полученное уравнение:

\[\frac{1}{\ln(5)} \cdot \frac{1}{(x^2-30x+249)} \cdot (2x-30) = 0\]

Так как знаменатель этой дроби не может быть равен нулю (поскольку это привело бы к делению на ноль), у нас остается только одно возможное решение:

\[2x-30=0 \Rightarrow x = 15\]

Шаг 4: Чтобы определить, является ли найденная точка экстремумом, а не точкой разрыва или асимптоты, необходимо проанализировать знак производной в окрестности этой точки.

Рассмотрим две окрестности точки \(x=15\): отрицательную (левую) и положительную (правую) окрестности.

В левой окрестности точки \(x=15\) (т.е. при \(x < 15\)) производная \(y"\) будет положительной, поскольку \(2x-30 > 0\) при \(x < 15\). Это означает, что функция y возрастает в левой окрестности точки \(x=15\).

В правой окрестности точки \(x=15\) (т.е. при \(x > 15\)) производная \(y"\) будет отрицательной, поскольку \(2x-30 < 0\) при \(x > 15\). Это означает, что функция y убывает в правой окрестности точки \(x=15\).

Исходя из этой информации, мы можем заключить, что точка \(x=15\) является точкой минимума функции.

Шаг 5: Чтобы найти y-координату точки минимума, подставим \(x=15\) в исходное уравнение функции y:

\[y = \log_5((15)^2-30(15)+249) + 8\]

\[y = \log_5(225-450+249) + 8\]

\[y = \log_5(24) + 8\]

Итак, координаты точки минимума функции y=log5(x^2-30x+249)+8 равны (15, \(\log_5(24) + 8\)).