Какова разность между дельта u и du для функции u=(x^3)*(y^3) в данной точке?

Magiya_Zvezd_8759

66

Хорошо, чтобы найти разность между дельта u и du для функции \(u=(x^3)\cdot(y^3)\) в данной точке, нам нужно сначала определить, что означают эти термины.

Дельта u (\(\Delta u\)) обозначает изменение функции \(u\) при некотором изменении входных переменных. В данном случае, это изменение будет вызвано изменением значений переменных \(x\) и \(y\).

du (\(du\)) обозначает дифференциал функции \(u\). Дифференциал представляет собой приращение функции, вызванное бесконечно малым изменением входных переменных. То есть, \(du\) показывает, как функция \(u\) будет меняться, когда мы незначительно изменяем значения переменных \(x\) и \(y\).

Теперь, для того чтобы найти разность между \(\Delta u\) и \(du\), мы можем использовать аппроксимацию первого порядка, используя формулу:

\(\Delta u \approx du\)

Это означает, что в данном случае разность между \(\Delta u\) и \(du\) будет примерно равна.

Давайте найдем частные производные функции \(u\) по переменным \(x\) и \(y\), чтобы вычислить \(du\).

Частная производная функции \(u\) по \(x\) (обозначается как \(\frac{{\partial u}}{{\partial x}}\)) может быть найдена, применяя правило производной для умножения функций к \(u=(x^3)\cdot(y^3)\). Результатом будет:

\(\frac{{\partial u}}{{\partial x}} = 3\cdot(x^2)\cdot(y^3)\)

Аналогично, частная производная функции \(u\) по \(y\) (обозначается как \(\frac{{\partial u}}{{\partial y}}\)) будет:

\(\frac{{\partial u}}{{\partial y}} = 3\cdot(x^3)\cdot(y^2)\)

Теперь мы можем вычислить \(du\) как:

\(du= \frac{{\partial u}}{{\partial x}} \cdot dx + \frac{{\partial u}}{{\partial y}} \cdot dy\)

Где \(dx\) и \(dy\) - это изменения переменных \(x\) и \(y\) в данной точке.

Окончательно, разность между \(\Delta u\) и \(du\) будет примерно равна \(du\), так как мы используем аппроксимацию первого порядка.

Надеюсь, это объяснение помогло вам понять концепцию разности между \(\Delta u\) и \(du\) для функции \(u=(x^3)\cdot(y^3)\) в данной точке.