Какова разность между третьим и пятым членами геометрической прогрессии, если она равна 240? Какова разность между

Kosmicheskaya_Panda

17

Давайте решим задачу по порядку.

1. Какова разность между третьим и пятым членами геометрической прогрессии, если она равна 240?

Пусть первый член геометрической прогрессии равен \(a\) и знаменатель равен \(q\). Разность между третьим и пятым членами можно представить следующим образом:

\[a \cdot q^2 - a \cdot q^4 = 240\]

Факторизуем это уравнение:

\[a(q^2 - q^4) = 240\]

Теперь мы можем рассмотреть разность \(q^2 - q^4\):

\[q^2 - q^4 = q^2(1 - q^2) = q^2(1 - q)(1 + q)\]

Возвращаемся к исходному уравнению и подставляем полученное выражение:

\[a \cdot q^2(1 - q)(1 + q) = 240\]

Теперь мы можем найти значение \(q\). Разделим обе стороны уравнения на \(a \cdot q^2(1 - q)(1 + q)\):

\[1 = \frac{240}{a \cdot q^2(1 - q)(1 + q)}\]

\[a \cdot q^2(1 - q)(1 + q) = \frac{240}{1}\]

В результате получаем уравнение:

\[a \cdot q^2(1 - q)(1 + q) = 240\]

Теперь перейдем ко второму вопросу.

2. Какова разность между вторым и четвертым членами геометрической прогрессии, если она равна 60?

Аналогично рассмотрим разность между вторым и четвертым членами:

\[a \cdot q - a \cdot q^3 = 60\]

Теперь мы можем факторизовать это уравнение:

\[a(q - q^3) = 60\]

Рассмотрим разность \(q - q^3\):

\[q - q^3 = q(1 - q^2) = q(1 - q)(1 + q)\]

Подставим полученное выражение в исходное уравнение:

\[a \cdot q(1 - q)(1 + q) = 60\]

Таким образом, мы получили второе уравнение:

\[a \cdot q(1 - q)(1 + q) = 60\]

Теперь перейдем к последнему вопросу.

3. Что является суммой первых шести членов данной геометрической прогрессии?

Для решения этого вопроса нам понадобится формула для суммы первых \(n\) членов геометрической прогрессии:

\[S_n = \frac{a \cdot (1 - q^n)}{1 - q}\]

Где \(S_n\) - сумма первых \(n\) членов, \(a\) - первый член, \(q\) - знаменатель.

В данной задаче нам нужно найти сумму первых шести членов. Значит, \(n = 6\). Поэтому подставляем эти значения в формулу:

\[S_6 = \frac{a \cdot (1 - q^6)}{1 - q}\]

Таким образом, сумма первых шести членов данной геометрической прогрессии равна \(\frac{a \cdot (1 - q^6)}{1 - q}\).

Надеюсь, эти пошаговые решения и объяснения помогли вам понять решение задачи.