Какова разность температур вершин 2 и 4 (t2−t4) прямоугольника 1-2-3-4, сделанного из металлических стержней

Dobryy_Drakon

29

Для решения данной задачи мы можем использовать закон теплопроводности, который гласит, что количество тепла, передаваемого через материал, пропорционально разности температур его концов, площади поперечного сечения и обратно пропорционально длине.

Пусть температуры в вершинах 2 и 4 равны \(t_2\) и \(t_4\) соответственно. Длина стержня 1-2 обозначим как \(l_{12}\), а длину стержня 1-4 обозначим как \(l_{14}\). По условию задачи, длины сторон прямоугольника относятся как \(l_{12}:l_{14} = 1:2\).

Так как площади поперечного сечения и материал стержней одинаковы, то мы можем применить закон теплопроводности к каждому из стержней.

Для стержня 1-2 количество тепла, передаваемого через него, можно выразить следующим образом:

\(Q_{12} = k \cdot S \cdot \frac{{t_2 - t_1}}{{l_{12}}}\),

где \(Q_{12}\) - количество тепла, \(k\) - коэффициент теплопроводности материала стержня, \(S\) - площадь поперечного сечения стержня, \((t_2 - t_1)\) - разность температур между вершинами 1 и 2, \(l_{12}\) - длина стержня 1-2.

Аналогично, для стержня 1-4 количество тепла, передаваемого через него, можно выразить следующим образом:

\(Q_{14} = k \cdot S \cdot \frac{{t_4 - t_1}}{{l_{14}}}\),

где \(Q_{14}\) - количество тепла, \((t_4 - t_1)\) - разность температур между вершинами 1 и 4, \(l_{14}\) - длина стержня 1-4.

Из условия задачи также известно, что длина стержня 4-2 втрое больше длины стержня 1-2, поэтому можно записать соотношение:

\(l_{42} = 3 \cdot l_{12}\).

Теперь мы можем выразить разность температур \(t_2 - t_4\) через количество тепла, передаваемого через каждый из стержней:

\(t_2 - t_4 = \frac{{Q_{12}}}{{Q_{14}}} \cdot \frac{{l_{14}}}{{l_{12}}}\).

Подстановкой выражений для количества тепла через стержни получаем:

\(t_2 - t_4 = \frac{{k \cdot S \cdot \frac{{t_2 - t_1}}{{l_{12}}}}}{{k \cdot S \cdot \frac{{t_4 - t_1}}{{l_{14}}}}} \cdot \frac{{l_{14}}}{{l_{12}}}\).

Сокращаем коэффициенты теплопроводности и площади поперечного сечения:

\(t_2 - t_4 = \frac{{(t_2 - t_1) \cdot l_{14}}}{{(t_4 - t_1) \cdot l_{12}}}\).

Подставляем известные значения температур и соотношение длин стержней:

\(t_2 - t_4 = \frac{{(t_2 - 100) \cdot 3 \cdot l_{12}}}{{(0 - 100) \cdot l_{12}}}\).

Упрощаем выражение:

\(t_2 - t_4 = \frac{{(t_2 - 100) \cdot 3}}{{-100}}\).

Раскрываем скобки:

\(t_2 - t_4 = \frac{{3t_2 - 300}}{{-100}}\).

Упрощаем дробь:

\(t_2 - t_4 = \frac{{3t_2 - 300}}{-100} = -3t_2 + 3\).

Переносим все слагаемые с \(t_2\) на одну сторону уравнения:

\(t_2 + 3t_2 = 3 + 300\).

Складываем \(t_2\) и \(3t_2\) и переносям число 300:

\(4t_2 = 303\).

Делим обе части уравнения на 4:

\(t_2 = \frac{{303}}{4} = 75.75\).

Теперь можем найти разность температур \(t_2 - t_4\):

\(t_2 - t_4 = 75.75 - t_4\).

Поскольку в задаче указано округлить до целого числа, получаем:

\(t_2 - t_4 = 76 - t_4\).

Ответ: \(t_2 - t_4 = 76\,^\circ \text{C}\).