Какова сила взаимодействия между тонким заряженным стержнем, расположенным в вакууме, длиной l и равномерно заряженным

Мистический_Лорд

64

Чтобы рассчитать силу взаимодействия между тонким заряженным стержнем и точечным зарядом, мы можем использовать закон Кулона. Формула для силы Кулона имеет вид:

\[F = \frac{k \cdot q_1 \cdot q_2}{r^2}\]

где \(F\) - сила взаимодействия, \(k\) - постоянная Кулона (равная \(9 \times 10^9\, \text{Н} \cdot \text{м}^2/\text{Кл}^2\)), \(q_1\) и \(q_2\) - заряды тел, \(r\) - расстояние между зарядами.

В данной задаче у нас есть тонкий заряженный стержень длиной \(l\) и равномерно заряженным зарядом \(q\), а также точечный заряд \(q_0\), расположенный на расстоянии \(r = l\) от центра стержня.

Чтобы рассчитать силу взаимодействия между ними, представим стержень как совокупность бесконечного числа точечных зарядов с малыми интервалами между ними. Затем мы можем интегрировать силу взаимодействия для каждого интервала по всей длине стержня.

Итак, разделим стержень на маленькие элементы длиной \(dx\). Масса каждого элемента \(dm\) равна массе стержня, поделенной на его длину \(l\), то есть \(dm = \frac{m}{l} \cdot dx\).

Теперь рассмотрим маленький элемент стержня с зарядом \(dq\). Заряд \(dq\) можно выразить через плотность заряда \(\lambda\) и элемент длины \(dx\), то есть \(dq = \lambda \cdot dx\).

Плотность заряда \(\lambda\) может быть определена как отношение заряда стержня \(q\) к его длине \(l\), то есть \(\lambda = \frac{q}{l}\).

Используя формулу для силы Кулона, мы можем написать элементарную силу \(dF\) между зарядом \(dq\) и точечным зарядом \(q_0\) как:

\[dF = \frac{k \cdot dq \cdot q_0}{r^2}\]

Подставим значения \(dq\) и \(r = l\) в это выражение:

\[dF = \frac{k \cdot \lambda \cdot dx \cdot q_0}{l^2}\]

Теперь мы можем интегрировать эту силу \(dF\) по всей длине стержня \(l\):

\[F = \int_{0}^{l} \frac{k \cdot \lambda \cdot dx \cdot q_0}{l^2}\]

Произведем необходимые вычисления:

\[F = \frac{k \cdot \lambda \cdot q_0}{l^2} \int_{0}^{l} dx\]

Интеграл от \(dx\) по длине стержня от 0 до \(l\) равен самой длине стержня, то есть:

\[F = \frac{k \cdot \lambda \cdot q_0}{l^2} \cdot l\]

Упростим эту формулу:

\[F = \frac{k \cdot q_0 \cdot q}{l}\]

Таким образом, сила взаимодействия между тонким заряженным стержнем, длиной \(l\) и равномерно заряженным зарядом \(q\), и точечным зарядом \(q_0\) на расстоянии \(r = l\) от его центра равна \(\frac{k \cdot q_0 \cdot q}{l}\).

Надеюсь, это пошаговое решение помогло вам понять, как мы пришли к этому ответу. Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать!