Какова скорость катера в стоячей воде, если он перемещается на 48 км вверх по течению реки и на 30 км вниз по течению

Raduzhnyy_Mir

21

Для решения этой задачи воспользуемся формулой для скорости:

скорость = путь / время

Пусть \(v\) будет скоростью катера в стоячей воде, \(t_1\) - время, за которое катер перемещается вверх по течению, \(t_2\) - время, за которое катер перемещается вниз по течению, и \(t_3\) - время, за которое катер перемещается вниз по течению на 1 час быстрее, чем против течения.

Исходя из условия задачи, у нас есть следующая система уравнений:

\(48 = (v + x) \cdot t_1\) (1)

\(30 = (v - x) \cdot t_2\) (2)

\(15 = (v - x) \cdot t_3\) (3)

где \(x\) - скорость течения реки.

Из уравнения (3) мы также можем записать:

\(15 = (v - x) \cdot (t_2 - 1)\) (4)

Теперь давайте разберемся с этой системой уравнений:

Из уравнения (1) получаем:

\(t_1 = \frac{48}{v + x}\)

Из уравнения (2) получаем:

\(t_2 = \frac{30}{v - x}\)

Теперь, заменив \(t_1\) и \(t_2\) в уравнении (4) получаем:

\(15 = (v - x) \cdot \left(\frac{30}{v - x} - 1\right)\)

Раскроем скобки:

\(15 = 30 - v + x\)

Упростим:

\(x = v - 15\)

Теперь мы можем заменить \(x\) в уравнении (1):

\(48 = (v + v - 15) \cdot t_1\)

\(48 = (2v - 15) \cdot t_1\)

Теперь заменим \(t_1\) (полученное выражение) и \(t_2\) в уравнении (2):

\(30 = (v - x) \cdot \frac{48}{v + x}\)

\(30 = (v - (v - 15)) \cdot \frac{48}{v + (v - 15)}\)

\(30 = 15 \cdot \frac{48}{2v - 15}\)

Теперь у нас есть два уравнения:

\(48 = (2v - 15) \cdot t_1\) (5)

\(30 = 15 \cdot \frac{48}{2v - 15}\) (6)

Решим уравнение (6) относительно \(v\):

\(30 = 15 \cdot \frac{48}{2v - 15}\)

\(\frac{30}{15} = \frac{48}{2v - 15}\)

\(\frac{2v - 15}{48} = \frac{1}{2}\)

\(2v - 15 = 24\)

\(2v = 39\)

\(v = 19.5\)

Таким образом, скорость катера в стоячей воде равна 19.5 км/ч.