Какова скорость точки в момент времени t, когда её координата x равна 0,5 м, если уравнение движения задано как x

Zvuk

67

Хорошо, рассмотрим задачу о скорости точки в момент времени \(t\), когда её координата \(x\) равна \(0,5\) метра. Уравнение движения дано в виде \(x = \sin(\pi t)\).

Для определения скорости нужно найти производную по времени от уравнения \(x(t)\). Давайте проделаем это пошагово.

Шаг 1: Найдем производную от \(x(t)\) по времени \(t\).
\[x"(t) = \frac{d}{dt} \left( \sin(\pi t) \right)\]

Для нахождения производной функции \(\sin(\pi t)\) воспользуемся цепным правилом дифференцирования. По цепному правилу производная состоит из двух частей: производной внешней функции по внутреннему аргументу, умноженной на производную внутренней функции по времени.

Шаг 2: Найдем производную внешней функции \(\sin(\pi t)\) по внутреннему аргументу \(\pi t\).
\[\frac{d}{d(\pi t)} \left( \sin(\pi t) \right) = \cos(\pi t)\]

Шаг 3: Найдем производную внутренней функции \(\pi t\) по времени \(t\).
\[\frac{d}{dt} (\pi t) = \pi\]

Шаг 4: Подставим значения производных из шагов 2 и 3 в цепное правило.

\[x"(t) = \cos(\pi t) \cdot \pi\]

Теперь мы знаем выражение для скорости точки: \(x"(t) = \cos(\pi t) \cdot \pi\).

Шаг 5: Найдем скорость точки в момент времени \(t\), когда \(x = 0,5\) метра.
Подставим \(x = 0,5\) в уравнение \(x(t) = \sin(\pi t)\) и решим его относительно \(t\).

\[0,5 = \sin(\pi t)\]

Для решения этого уравнения потребуется использовать обратную функцию синуса - арксинус. Применяя арксинус к обеим частям уравнения, получим:

\[\arcsin(0,5) = \pi t\]

Теперь найдем \(t\) делением обеих частей уравнения на \(\pi\):

\[t = \frac{\arcsin(0,5)}{\pi}\]

Шаг 6: Подставим значение \(t\) в выражение для скорости \(x"(t) = \cos(\pi t) \cdot \pi\) и вычислим скорость.

\[x" \left( \frac{\arcsin(0,5)}{\pi} \right) = \cos \left( \pi \cdot \frac{\arcsin(0,5)}{\pi} \right) \cdot \pi\]

Теперь остается только вычислить это выражение:

\[x" \left( \frac{\arcsin(0,5)}{\pi} \right) = \cos(\arcsin(0,5)) \cdot \pi\]

Чтобы вычислить \(\cos(\arcsin(0,5))\), воспользуемся свойством тригонометрической функции \(\cos(\arcsin(x)) = \sqrt{1 - x^2}\):

\[x" \left( \frac{\arcsin(0,5)}{\pi} \right) = \sqrt{1 - 0,5^2} \cdot \pi\]

\[x" \left( \frac{\arcsin(0,5)}{\pi} \right) = \sqrt{1 - 0,25} \cdot \pi\]

\[x" \left( \frac{\arcsin(0,5)}{\pi} \right) = \sqrt{0.75} \cdot \pi\]

\[x" \left( \frac{\arcsin(0,5)}{\pi} \right) = 0,8660 \cdot \pi\]

\[x" \left( \frac{\arcsin(0,5)}{\pi} \right) \approx 2,72\]

Поэтому скорость точки в момент времени \(t\), когда \(x = 0,5\) метра, составляет примерно \(2,72\) (в соответствующих единицах скорости).