Какова сумма квадратов корней уравнения x2−3|x|+1=0, если уравнение не решается?

Змея

35

Хорошо, давайте разберем задачу пошагово.

1. Сначала рассмотрим уравнение \(x^2 - 3|x| + 1 = 0\). Обратите внимание на то, что это уравнение квадратное, так как сама переменная \(x\) возводится в квадрат.

2. Теперь, чтобы найти корни этого уравнения, мы должны учесть случаи, когда выражение внутри модуля \(|x|\) является положительным и когда оно является отрицательным.

3. Для случая, когда \(x \geq 0\) (так как \(|x|\) всегда неотрицательно), уравнение принимает вид \(x^2 - 3x + 1 = 0\). Чтобы найти корни такого уравнения, можно воспользоваться формулой дискриминанта: \(D = b^2 - 4ac\), где \(a\), \(b\) и \(c\) - коэффициенты квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\).

4. В нашем случае, \(a = 1\), \(b = -3\) и \(c = 1\). Подставим значения в формулу дискриминанта: \(D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 9 - 4 = 5\). Значение дискриминанта положительное, что означает, что уравнение имеет два различных вещественных корня.

5. Теперь воспользуемся формулой для нахождения корней квадратного уравнения: \(x_{1,2} = (-b \pm \sqrt{D}) / (2a)\). Подставим известные значения: \(x_{1,2} = (-(-3) \pm \sqrt{5}) / (2 \cdot 1)\). Упростим это выражение: \(x_{1,2} = (3 \pm \sqrt{5})/2\).

6. Для случая, когда \(x < 0\), модуль \(|x|\) отрицательным не становится, так как он всегда неотрицателен. Поэтому, при \(x < 0\) уравнение принимает вид \(x^2 + 3x + 1 = 0\).

7. Чтобы найти корни такого уравнения, мы можем использовать ту же формулу для нахождения корней квадратного уравнения. В нашем случае, \(a = 1\), \(b = 3\) и \(c = 1\). Подставим значения в формулу дискриминанта: \(D = (3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 9 - 4 = 5\). И снова получаем положительное значение дискриминанта.

8. Используя формулу для нахождения корней квадратного уравнения, получаем: \(x_{3,4} = (-3 \pm \sqrt{5}) / (2 \cdot 1) = (-3 \pm \sqrt{5}) / 2\).

9. Таким образом, у уравнения \(x^2 - 3|x| + 1 = 0\) получается 4 корня: \(x_{1} = (3 + \sqrt{5})/2\), \(x_{2} = (3 - \sqrt{5})/2\) для случая \(x \geq 0\) и \(x_{3} = (-3 + \sqrt{5})/2\), \(x_{4} = (-3 - \sqrt{5})/2\) для случая \(x < 0\).

10. Теперь, чтобы найти сумму квадратов корней, нужно просуммировать квадраты всех найденных корней: \(S = (x_{1}^2 + x_{2}^2 + x_{3}^2 + x_{4}^2)\).

11. Подставим значения корней и просуммируем: \(S = ((3 + \sqrt{5})/2)^2 + ((3 - \sqrt{5})/2)^2 + ((-3 + \sqrt{5})/2)^2 + ((-3 - \sqrt{5})/2)^2\).

12. Выполним несколько алгебраических преобразований и упростим выражения для каждого слагаемого в сумме.

13. В итоге получим ответ: \(S = 16\). Сумма квадратов корней уравнения \(x^2 - 3|x| + 1 = 0\) равна 16.

Надеюсь, этот пошаговый разбор помог вам понять, как получить этот результат. Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать.