Для каких значений (x, y) неравенство 12x-2x²-13> =√(3y²-24y+73) выполняется?

Zvonkiy_Elf

5

Хорошо, давайте решим данную задачу.
Для начала давайте разберемся с неравенством внутри корня. Зная, что под корнем должно находиться неотрицательное число, мы получаем следующее неравенство:

3y² - 24y + 73 ≥ 0

Чтобы решить это неравенство, мы можем воспользоваться квадратным трехчленом. Сначала найдем его вершину, используя формулу x = -b / (2a). Для данного неравенства a = 3, b = -24:

x = -(-24) / (2 * 3)
x = 24 / 6
x = 4

Теперь, зная значение x, мы можем подставить его в исходное неравенство:

12x - 2x² - 13 ≥ √(3y² - 24y + 73)

12 * 4 - 2 * 4² - 13 ≥ √(3y² - 24y + 73)

48 - 2 * 16 - 13 ≥ √(3y² - 24y + 73)

48 - 32 - 13 ≥ √(3y² - 24y + 73)

3 ≥ √(3y² - 24y + 73)

Возводя обе части неравенства в квадрат, получаем:

9 ≥ 3y² - 24y + 73

После переноса всех слагаемых влево получаем:

3y² - 24y + 73 - 9 ≥ 0

3y² - 24y + 64 ≥ 0

Теперь мы можем попытаться разложить это выражение на множители:

(3y - 8)(y - 8) ≥ 0

Теперь нам нужно определить знак выражения (3y - 8)(y - 8). Заметим, что 3y - 8 ≥ 0 тогда и только тогда, когда y ≥ 8, а y - 8 ≥ 0 тогда и только тогда, когда y ≥ 8. Значит, условие для выполнения неравенства имеет вид:

y ≥ 8

Или если записать короче: y ∈ [8, +∞)

Таким образом, неравенство 12x - 2x² - 13 ≥ √(3y² - 24y + 73) выполняется для всех значений (x, y), где x - это любое действительное число, а y ≥ 8.