Какова сумма первых шестидесяти членов последовательности, где каждый член (bn) выражается как 4n–2?

Malysh

21

Конечно! Для решения этой задачи нам нужно сложить первые шестидесят членов последовательности \(b_n = 4n - 2\). Давайте начнем.

Первый шаг: Найдите первый член последовательности. Подставим \(n = 1\) в формулу \(b_n = 4n - 2\):

\[b_1 = 4 \cdot 1 - 2 = 2\]

Второй шаг: Найдите второй член последовательности. Подставим \(n = 2\) в формулу \(b_n = 4n - 2\):

\[b_2 = 4 \cdot 2 - 2 = 6\]

Третий шаг: Найдите третий член последовательности. Подставим \(n = 3\) в формулу \(b_n = 4n - 2\):

\[b_3 = 4 \cdot 3 - 2 = 10\]

Продолжая этот процесс, мы найдем остальные члены последовательности.

Четвертый член: \(b_4 = 4 \cdot 4 - 2 = 14\)

Пятый член: \(b_5 = 4 \cdot 5 - 2 = 18\)

Шестой член: \(b_6 = 4 \cdot 6 - 2 = 22\)

Мы продолжим вычислять члены последовательности до \(b_{60}\). Однако, чтобы упростить задачу, рассмотрим общую формулу для членов последовательности:

\[b_n = 4n - 2\]

Для вычисления суммы первых шестидесяти членов, нам нужно просуммировать все члены от \(b_1\) до \(b_{60}\). Обозначим сумму как \(S\):

\[S = b_1 + b_2 + b_3 + \ldots + b_{60}\]

Теперь мы можем переписать эту сумму, используя общую формулу для \(b_n\):

\[S = (4 \cdot 1 - 2) + (4 \cdot 2 - 2) + (4 \cdot 3 - 2) + \ldots + (4 \cdot 60 - 2)\]

Мы можем упростить эту сумму, раскрыв скобки и объединив подобные члены:

\[S = (4 + 8 + 12 + \ldots + 236) - 2 \cdot 60\]

После упрощения выражения, мы получим:

\[S = 4(1 + 2 + 3 + \ldots + 60) - 120\]

Далее нам понадобится формула для суммы первых \(n\) натуральных чисел:

\[1 + 2 + 3 + \ldots + n = \frac{{n \cdot (n + 1)}}{2}\]

Применяя эту формулу, мы можем вычислить сумму первых шестидесяти чисел:

\[S = 4 \cdot \frac{{60 \cdot (60 + 1)}}{2} - 120\]

Нам остается только вычислить значение этого выражения:

\[S = 4 \cdot \frac{{60 \cdot 61}}{2} - 120\]

\[S = 4 \cdot \frac{{3660}}{2} - 120\]

\[S = 4 \cdot 1830 - 120\]

\[S = 7320 - 120\]

\[S = 7200\]

Таким образом, сумма первых шестидесяти членов последовательности равна 7200.