Какова сумма трех сил по 15 Н каждая, действующих в одной плоскости под углом 120 градусов друг к другу?

Викторович

39

Для решения этой задачи, нам нужно применить понятие векторной суммы сил, известное также как параллелограмм закон векторной суммы.

При работе с векторами, мы должны учитывать, что они имеют направление, длину и величину. Для решения этой задачи, мы можем использовать правило косинусов, чтобы определить величину результирующей силы и ее направление.

Начнем с построения векторной диаграммы для трех сил в одной плоскости под углом 120 градусов друг к другу. Пусть векторы обозначаются как F₁, F₂ и F₃.

Поместим начало первого вектора F₁ в начало координат, затем нарисуем его длиной 15 Н в направлении, указанном углом 120 градусов. Далее, из конца вектора F₁, нарисуем второй вектор F₂ также длиной 15 Н, но под углом 120 градусов относительно вектора F₁. Наконец, из начала вектора F₁ нарисуем третий вектор F₃ также длиной 15 Н, но под углом 120 градусов относительно вектора F₁ в обратную сторону.

Используя правило косинусов, найдем величину результирующей силы R.

\[
R = \sqrt{{F₁}^2 + {F₂}^2 + {F₃}^2 + 2 \cdot F₁ \cdot F₂ \cdot \cos(\theta₁ - \theta₂) + 2 \cdot F₂ \cdot F₃ \cdot \cos(\theta₂ - \theta₃) + 2 \cdot F₃ \cdot F₁ \cdot \cos(\theta₃ - \theta₁)}
\]

Где F₁, F₂ и F₃ - величины трех сил, а \(\theta₁, \theta₂\) и \(\theta₃\) - соответствующие углы между силами.

Подставив значения в формулу, получим:

\[
R = \sqrt{{15}^2 + {15}^2 + {15}^2 + 2 \cdot 15 \cdot 15 \cdot \cos(120 - 120) + 2 \cdot 15 \cdot 15 \cdot \cos(120 - 240) + 2 \cdot 15 \cdot 15 \cdot \cos(240 - 120)}
\]

Упрощая эту формулу, получим:

\[
R = \sqrt{{15}^2 + {15}^2 + {15}^2 + 2 \cdot 15 \cdot 15 \cdot \cos(0) + 2 \cdot 15 \cdot 15 \cdot \cos(-120) + 2 \cdot 15 \cdot 15 \cdot \cos(120)}
\]

\[
R = \sqrt{{15}^2 + {15}^2 + {15}^2 + 2 \cdot 15 \cdot 15 + 2 \cdot 15 \cdot 15 \cdot (-0.5) + 2 \cdot 15 \cdot 15 \cdot (-0.5)}
\]

\[
R = \sqrt{{15}^2 + {15}^2 + {15}^2 + 2 \cdot 15 \cdot 15 + 2 \cdot 15 \cdot 15 \cdot (-0.5) + 2 \cdot 15 \cdot 15 \cdot (-0.5)}
\]

\[
R = \sqrt{{15}^2 + {15}^2 + {15}^2 + 2 \cdot 15 \cdot 15 + 2 \cdot 15 \cdot 15 \cdot (-0.5) + 2 \cdot 15 \cdot 15 \cdot (-0.5)}
\]

\[
R = \sqrt{675 + 450 + 450} = \sqrt{1575}
\]

\[
R = 39.7 Н
\]

Таким образом, результирующая сила, действующая в одной плоскости под углом 120 градусов друг к другу, равна 39.7 Н.