Какова сумма тригонометрических функций в следующих выражениях? 1) sin5a*cos2a; 2) sin8a*cos12a; 3) cos5a*cos7a

Skvorec

65

Конечно, я могу помочь с решением этих задач! Давайте рассмотрим каждое выражение по отдельности.

1) Для выражения sin5a*cos2a, мы можем воспользоваться формулой двойного угла для синуса:
\[\sin (2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha\]

Применим эту формулу, заменив \(\alpha\) на \(5a\):

\(\sin (2\cdot 5a)\) \(= 2 \cdot \sin (5a) \cdot \cos (5a)\)

Теперь мы знаем, что \(\sin (10a) = 2 \cdot \sin (5a) \cdot \cos (5a)\), поэтому исходное выражение можно переписать как:

\(\text{сумма} = \sin (10a)\)

Ответ: \(\sin (10a)\)

2) В данном случае, также можем воспользоваться формулой двойного угла. Но для этого нам нужно разложить двойной угол на сумму двух одинарных углов:

\(\sin (8a)\cos (12a)\) \(= \frac{1}{2} [\sin (20a) + \sin (4a)]\)

Обратите внимание, что здесь используется формула суммы синусов для \(\sin (A + B)\):
\[\sin (A + B) = \sin (A)\cos (B) + \cos (A)\sin (B)\]

Теперь мы можем записать исходное выражение в виде:

\(\text{сумма} = \frac{1}{2} [\sin (20a) + \sin (4a)]\)

Ответ: \(\frac{1}{2} [\sin (20a) + \sin (4a)]\)

3) В этом выражении у нас есть произведение cos5a и cos7a. Здесь, чтобы найти сумму, нам понадобится формула произведения косинусов:
\[\cos (A)\cos (B) = \frac{1}{2}[\cos (A - B) + \cos (A + B)]\]

Применим данную формулу к исходному выражению, подставив \(A = 5a\) и \(B = 7a\):

\(\cos (5a)\cos (7a)\) \(= \frac{1}{2}[\cos (5a - 7a) + \cos (5a + 7a)]\)

\(\cos (-2a) + \cos (12a)\)

Поскольку \(\cos (-2a) = \cos (2a)\), получается:

\(\cos (2a) + \cos (12a)\)

Ответ: \(\cos (2a) + \cos (12a)\)

4) Теперь рассмотрим выражение cos6a*cos(-15a). Здесь тоже применим формулу произведения косинусов:

\(\cos (6a)\cos (-15a)\) \(= \frac{1}{2}[\cos (6a - (-15a)) + \cos (6a + (-15a))]\)

\(\cos (6a + 15a) + \cos (-9a)\)

Заметим, что \(\cos (-9a) = \cos (9a)\):

\(\cos (21a) + \cos (9a)\)

Ответ: \(\cos (21a) + \cos (9a)\)

5) В данном выражении у нас есть произведение sin6a и sin14a. Мы можем применить формулу произведения синусов:
\[\sin (A)\sin (B) = \frac{1}{2}[\cos (A - B) - \cos (A + B)]\]

Применим данную формулу к исходному выражению, подставив \(A = 6a\) и \(B = 14a\):

\(\sin (6a)\sin (14a)\) \(= \frac{1}{2}[\cos (6a - 14a) - \cos (6a + 14a)]\)

\(\sin (-8a) - \cos (20a)\)

Заметим, что \(\sin (-8a) = -\sin (8a)\):

\(-\sin (8a) - \cos (20a)\)

Ответ: \(-\sin (8a) - \cos (20a)\)

Я надеюсь, что данное пошаговое решение помогло вам понять, как получить сумму тригонометрических функций для каждого из выражений. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать! Я всегда готов помочь.