Какова сумма всех корней уравнения 5x²-10/5x² = -1/x?

Hrustal

1

Чтобы найти сумму всех корней данного уравнения, мы сначала должны преобразовать его в более удобную форму. Произведем умножение обеих сторон уравнения на \(x^2\) для того, чтобы избавиться от дробей. Результат будет следующим:

\[5x^2 - \frac{10}{5} = -\frac{1}{x} \cdot x^2\]

Упрощая эту запись, получается:

\[5x^2 - 2 = -x\]

Теперь приведем уравнение к стандартному квадратному виду, перенеся все слагаемые в одну часть и приравняв их к нулю:

\[5x^2 + x - 2 = 0\]

Далее воспользуемся формулой дискриминанта для решения квадратного уравнения:

\[D = b^2 - 4ac\]

В данном случае \(a = 5\), \(b = 1\), \(c = -2\), поэтому подставив эти значения в формулу, получим:

\[D = 1^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-2) = 1 + 40 = 41\]

Поскольку дискриминант \(D\) больше нуля, у нас есть два действительных корня. Формула для нахождения корней имеет вид:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]

Подставляя значения в формулу, получим:

\[x_1 = \frac{-1 + \sqrt{41}}{2 \cdot 5} = \frac{-1 + \sqrt{41}}{10}\]
\[x_2 = \frac{-1 - \sqrt{41}}{10}\]

Таким образом, сумма всех корней данного уравнения равна:

\[x_1 + x_2 = \frac{-1 + \sqrt{41}}{10} + \frac{-1 - \sqrt{41}}{10}\]

Сокращая общий знаменатель и складывая числители, получаем:

\[x_1 + x_2 = \frac{-1 + \sqrt{41} - 1 - \sqrt{41}}{10} = \frac{-2}{10} = -\frac{1}{5}\]

Таким образом, сумма всех корней уравнения \(5x^2 - \frac{10}{5x^2} = -\frac{1}{x}\) равна \(-\frac{1}{5}\).