Какова связь между числом вершин в выпуклом многоугольнике и суммой его внутренних углов?

Зоя

1

Скажем, что у нас есть выпуклый многоугольник с \(n\) вершинами. Чтобы определить связь между числом вершин и суммой внутренних углов, мы можем рассмотреть многоугольник с небольшим числом вершин и найти закономерность.

Давайте начнем с самого простого многоугольника - треугольника. У треугольника всего три вершины и три внутренних угла. Для удобства мы можем назвать эти углы \(A\), \(B\) и \(C\). Сумма внутренних углов треугольника всегда равна 180 градусов, что можно записать формулой:

\[ A + B + C = 180^\circ \]

Теперь рассмотрим четырехугольник. У него уже четыре вершины и четыре внутренних угла. Обозначим эти углы как \(A\), \(B\), \(C\) и \(D\). Возникает вопрос: можем ли мы найти связь между числом вершин и суммой внутренних углов? В нашей формуле для треугольника у нас есть три переменные, и мы сможем решить ее только, если у нас есть три уравнения. Давайте добавим третье условие.

Предположим, что мы рисуем диагональ от одной вершины до другой. У нас теперь есть два треугольника: один с вершинами \(A\), \(B\) и новой вершиной \(E\), и другой с вершинами \(C\), \(D\) и новой вершиной \(F\). Сумма внутренних углов этих двух треугольников также должна быть равна 180 градусов:

\[ A + B + E = 180^\circ \]
\[ C + D + F = 180^\circ \]

Теперь у нас есть два уравнения для четырехугольника. Мы также знаем, что угол \(E\) и угол \(F\) в сумме дают нам внутренний угол \(x\) четырехугольника:

\[ E + F = x \]

Мы можем снова использовать уравнение для треугольника и подставить \(A + B + C + D\) вместо 180 градусов:

\[ (A + B + E) + (C + D + F) = x + 180^\circ \]

\[ 180^\circ + 180^\circ = x + 180^\circ \]

\[ 360^\circ = x + 180^\circ \]

Таким образом, связь между числом вершин \(n\) в выпуклом многоугольнике и суммой его внутренних углов \(S\) может быть записана следующим образом:

\[ S = (n - 2) \cdot 180^\circ \]

Это также называется "формулой суммы внутренних углов многоугольника". Мы можем заметить, что сумма внутренних углов увеличивается с увеличением числа вершин многоугольника, и она всегда равна \(180^\circ\) умножить на \(n - 2\).

Важно отметить, что эта формула применима только к выпуклым многоугольникам, где все внутренние углы меньше 180 градусов. Когда имеются вогнутые углы или пересечения сторон, связь между числом вершин и суммой внутренних углов может быть более сложной.