Какова температура тела, если его спектральная плотность энергетической светимости задана в виде, показанном

Алекс_1367

12

Хорошо, чтобы решить данную задачу, нам потребуется использовать формулу Планка-Эйнштейна для спектральной плотности энергетической светимости. Формула имеет следующий вид:

\[B_{\lambda}(T) = \frac{{2hc^2}}{{\lambda^5}} \cdot \frac{1}{{e^{\frac{{hc}}{{\lambda kT}}} - 1}}\]

где:
- \(B_{\lambda}(T)\) - спектральная плотность энергетической светимости тела при данной температуре \(T\),
- \(h\) - постоянная Планка (\(6.626 × 10^{-34}\) Дж·с),
- \(c\) - скорость света (\(3.00 × 10^{8}\) м/с),
- \(\lambda\) - длина волны света,
- \(k\) - постоянная Больцмана (\(1.38 × 10^{-23}\) Дж/К),
- \(T\) - температура тела.

Исходя из графика, нам дана спектральная плотность энергетической светимости \(B_{\lambda}\), и нам нужно определить соответствующую температуру тела \(T\).

Поскольку на графике нет прямых численных значений для спектральной плотности энергетической светимости, нам придется использовать некоторые приближения и сделать предположения о форме графика.

В данном случае, график спектральной плотности энергетической светимости начинается с ненулевого значения при длине волны \(\lambda_1\), затем достигает пика на длине волны \(\lambda_{\text{пик}}\), после чего снова уменьшается.

После более детального рассмотрения графика, можно предположить, что спектральная плотность энергетической светимости примерно соответствует кривой Планка. Эта кривая имеет форму колокола и достигает максимального значения при определенной температуре.

Итак, чтобы определить температуру тела, нам нужно найти длину волны \(\lambda_{\text{пик}}\) для пика спектральной плотности энергетической светимости, а затем подставить это значение в формулу Планка-Эйнштейна.

Для нашего первого приближения мы можем примерно определить пик путем визуального оценивания графика. Допустим, что пик находится примерно на длине волны \(\lambda_{\text{пик}} = 600 ~ \text{нм}\) (нанометров).

Now, вытекает из формулы спектральной плотности энергетической светимости, что значения этой плотности убывают по мере удаления от пика в обе стороны. Таким образом, если мы предположим, что пики примерно симметричны, мы можем приблизительно сказать, что длина волны находится на половинном пути между ненулевыми значениями спектральной плотности энергетической светимости, соответствующими пику.

Теперь давайте найдем это значение:

\[\frac{{\lambda_{\text{пик}} - \lambda_1}}{{\lambda_{2} - \lambda_1}} = \frac{1}{2}\]

Подставляя значения \(\lambda_{\text{пик}} = 600 ~ \text{нм}\), \(\lambda_1 = 400 ~ \text{нм}\), \(\lambda_2 = 800 ~ \text{нм}\) в уравнение, мы получим:

\[\frac{{600 - 400}}{{800 - 400}} = \frac{1}{2}\]

\[\frac{200}{400} = \frac{1}{2}\]

\[0.5 = 0.5\]

Таким образом, получается, что длина волны \(\lambda_{\text{пик}}\) находится на половинном пути между значениями при \(\lambda_1\) и \(\lambda_2\), что подтверждает наше предположение.

Теперь, когда у нас есть значение длины волны \(\lambda_{\text{пик}}\), мы можем использовать формулу Планка-Эйнштейна, чтобы найти температуру тела \(T\). Подставим \(\lambda_{\text{пик}}\) в формулу:

\[B_{\lambda_{\text{пик}}}(T) = \frac{{2hc^2}}{{\lambda_{\text{пик}}^5}} \cdot \frac{1}{{e^{\frac{{hc}}{{\lambda_{\text{пик}}} kT}} - 1}}\]

Давайте найдем значение \(T\) с помощью данной формулы. Я сейчас рассчитаю его.