Какова угловая скорость аэроплана, летящего на окружности радиусом 20км со скоростью 150 м с−1, при массе человека

Poyuschiy_Homyak

31

Чтобы определить угловую скорость аэроплана, летящего по окружности, нам понадобятся несколько сведений из физики. Начнем с формулы, которая связывает угловую скорость (\(\omega\)), линейную скорость (\(v\)) и радиус окружности (\(r\)).

Формула связи между угловой и линейной скоростью:

\[\omega = \frac{v}{r}\]

В данной задаче уже даны значения линейной скорости (\(v = 150\) м/с) и радиуса окружности (\(r = 20\) км).

Однако, прежде чем приступить к вычислениям, мы должны проверить, необходимо ли учесть массу человека на борту аэроплана.

Для этого воспользуемся законом сохранения момента импульса. Этот закон утверждает, что момент импульса системы, не подвергающейся внешним моментам сил, сохраняется.

Момент импульса (L) равен произведению момента инерции (I) на угловую скорость (\(\omega\)):

\[L = I \cdot \omega\]

Момент инерции (I) зависит от массы объектов в системе и их расположения относительно оси вращения. В данной задаче мы имеем массу человека (\(m\)) и радиус (\(r\)), поэтому нам также понадобится понятие массового момента инерции (moment of inertia) для человека на борту аэроплана.

Массовый момент инерции для точки массы, движущейся вокруг оси, расположенной на расстоянии \(r\) от точки, определяется следующей формулой:

\[I = m \cdot r^2\]

Теперь мы можем приступить к решению задачи.

Сначала вычислим угловую скорость аэроплана, используя формулу \(\omega = \frac{v}{r}\):

\[\omega = \frac{150\, \text{м/с}}{20\, \text{км}} = \frac{150\,000\, \text{м/с}}{20\,000\, \text{м}} = 7.5\, \text{рад/с}\]

Теперь заострим внимание на влиянии массы человека на борту.

Массовый момент инерции \(I\) для человека на борту аэроплана можно вычислить, используя формулу \(I = m \cdot r^2\), где \(m\) - масса человека, \(r\) - радиус окружности.

\[I = 80\, \text{кг} \cdot (20\,000\, \text{м})^2 = 32 \times 10^7\, \text{кг} \cdot \text{м}^2\]

Теперь, чтобы определить, как масса влияет на угловую скорость, мы можем использовать закон сохранения момента импульса.

Так как момент импульса (\(L\)) является константой, мы можем записать уравнение:

\[L_{\text{без человека}} = L_{\text{с человеком}}\]

\[I \cdot \omega_{\text{без человека}} = (I + m \cdot r^2) \cdot \omega_{\text{с человеком}}\]

\[32 \times 10^7\, \text{кг} \cdot \text{м}^2 \cdot \omega_{\text{без человека}} = (32 \times 10^7\, \text{кг} \cdot \text{м}^2 + 80\, \text{кг} \cdot (20\,000\, \text{м})^2) \cdot \omega_{\text{с человеком}}\]

Мы можем решить уравнение для \(\omega_{\text{с человеком}}\):

\[\omega_{\text{с человеком}} = \frac{32 \times 10^7\, \text{кг} \cdot \text{м}^2 \cdot \omega_{\text{без человека}}}{32 \times 10^7\, \text{кг} \cdot \text{м}^2 + 80\, \text{кг} \cdot (20\,000\, \text{м})^2}\]

Таким образом, чтобы найти угловую скорость аэроплана с учетом массы человека, нужно подставить значение \(\omega_{\text{без человека}}\) (которое мы рассчитали ранее) в эту формулу и получить итоговый ответ с учетом массы человека.