Какова угловая скорость колеса, если пуля массой 50 г при скорости 100 м/с сталкивается с выступом покоящегося

Zvonkiy_Spasatel

11

Для решения данной задачи нам понадобятся законы сохранения импульса и момента импульса.

Изначально, пуля двигалась со скоростью 100 м/с и имела массу 50 г (0.05 кг). Мы можем вычислить импульс пули.

По закону сохранения импульса, сумма импульсов до и после столкновения должна оставаться неизменной. Так как пуля сталкивается с покоящимся колесом, импульс колеса до столкновения равен нулю, поэтому импульс пули после столкновения равен импульсу пули до столкновения:

\[m_{\text{пули}} \cdot v_{\text{пули до}} = m_{\text{пули}} \cdot v_{\text{пули после}} + I_{\text{колеса}} \cdot \omega_{\text{колеса}}\]

где:

\(m_{\text{пули}}\) - масса пули,
\(v_{\text{пули до}}\) - скорость пули до столкновения,
\(v_{\text{пули после}}\) - скорость пули после столкновения,
\(I_{\text{колеса}}\) - момент инерции колеса,
\(\omega_{\text{колеса}}\) - угловая скорость колеса после столкновения.

Заметим, что расстояние от точки попадания пули до оси вращения колеса не влияет на угловую скорость колеса, поэтому его можно игнорировать в данном решении.

Теперь мы можем решить уравнение относительно \(\omega_{\text{колеса}}\):

\[m_{\text{пули}} \cdot v_{\text{пули до}} = m_{\text{пули}} \cdot v_{\text{пули после}} + I_{\text{колеса}} \cdot \omega_{\text{колеса}}\]

Подставляем известные значения:

\[0.05 \, \text{кг} \cdot 100 \, \text{м/с} = 0.05 \, \text{кг} \cdot v_{\text{пули после}} + 0.25 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2 \cdot \omega_{\text{колеса}}\]

\[5 \, \text{кг} \cdot \text{м/с} = 0.05 \, \text{кг} \cdot v_{\text{пули после}} + 0.25 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2 \cdot \omega_{\text{колеса}}\]

\[0.25 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2 \cdot \omega_{\text{колеса}} = 5 \, \text{кг} \cdot \text{м/с} - 0.05 \, \text{кг} \cdot v_{\text{пули после}}\]

Для нахождения выражения для угловой скорости колеса, нам нужно знать скорость пули после столкновения с колесом. Для этого нам потребуется использовать зависимость между импульсом и скоростью столкновения.

Мы предполагаем, что столкновение пули и колеса происходит без потерь энергии, поэтому можно использовать закон сохранения импульса для горизонтальной составляющей движения:

\[m_{\text{пули}} \cdot v_{\text{пули до}} = m_{\text{пули}} \cdot v_{\text{пули после}}\]

\[0.05 \, \text{кг} \cdot 100 \, \text{м/с} = 0.05 \, \text{кг} \cdot v_{\text{пули после}}\]

\[5 \, \text{кг} \cdot \text{м/с} = 0.05 \, \text{кг} \cdot v_{\text{пули после}}\]

Отсюда:

\[v_{\text{пули после}} = \frac{5 \, \text{кг} \cdot \text{м/с}}{0.05 \, \text{кг}} = 100 \, \text{м/с}\]

Подставляем значение \(v_{\text{пули после}}\) обратно в выражение для \(\omega_{\text{колеса}}\):

\[\omega_{\text{колеса}} = \frac{5 \, \text{кг} \cdot \text{м/с} - 0.05 \, \text{кг} \cdot 100 \, \text{м/с}}{0.25 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2}\]

\[\omega_{\text{колеса}} = \frac{5 \, \text{кг} \cdot \text{м/с} - 5 \, \text{кг} \cdot \text{м/с}}{0.25 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2}\]

\[\omega_{\text{колеса}} = \frac{0}{0.25 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2}\]

Угловая скорость колеса равна нулю.

Таким образом, угловая скорость колеса после столкновения с пулей равна нулю.