Какова угловая скорость стержня в начальный момент времени после удара пластилинового шарика массой 10 г, летящего

Taras

63

Задача имеет дело с сохранением момента импульса. Перед ударом у пластилинового шарика и стержня не было момента импульса, следовательно, после удара суммарный момент импульса должен быть равен нулю (так как внешних моментов сил на систему нет).

Момент инерции стержня можно рассчитать как \[I = \frac{1}{3}mL^2,\] где \(m\) - масса стержня, а \(L\) - его длина. Подставляя известные значения, получаем \[I = \frac{1}{3} \cdot 0.2 \, \text{кг} \cdot (1 \, \text{м})^2 = 0.067 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2.\]

После удара, шарик и стержень двигаются вместе как одно целое. Обозначим скорость стержня после удара как \(v\). Тогда момент импульса системы можно рассчитать как произведение массы стержня и его скорости: \[I_{\text{стержня}} \cdot \omega = (m_{\text{стержня}} + m_{\text{шарика}}) \cdot v,\] где \(\omega\) - угловая скорость стержня, \(m_{\text{шарика}}\) - масса шарика, а \(m_{\text{стержня}}\) - масса стержня.

Масса шарика равна 10 г, что составляет 0.01 кг. Подставляя известные значения, получаем: \[0.067 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2 \cdot \omega = (0.2 \, \text{кг} + 0.01 \, \text{кг}) \cdot v.\]

Теперь можно найти скорость стержня после удара. Для этого решим уравнение относительно \(v\): \[v = \frac{0.067 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2 \cdot \omega}{0.21 \, \text{кг}}.\]

Осталось найти угловую скорость стержня. Для этого необходимо знать, где находится точка относительно горизонтальной оси, относительно которой рассчитывается момент инерции. В данной задаче горизонтальная ось проходит на расстоянии 0.25 м от края стержня. Следовательно, момент инерции стержня рассчитывается относительно этой точки и связан с угловой скоростью следующим образом: \[I_{\text{стержня}} \cdot \omega = m_{\text{стержня}} \cdot v \cdot r,\] где \(r\) - расстояние от этой точки до центра масс стержня.

Подставляя известные значения, получаем \[0.067 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2 \cdot \omega = 0.2 \, \text{кг} \cdot v \cdot 0.25 \, \text{м}.\]

Теперь можем найти угловую скорость стержня \(\omega\). Подставляя значение \(v\), полученное ранее, в уравнение, получаем: \[0.067 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2 \cdot \omega = 0.2 \, \text{кг} \cdot \left(\frac{0.067 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2 \cdot \omega}{0.21 \, \text{кг}}\right) \cdot 0.25 \, \text{м}.\]

Решая данное уравнение, получим значение угловой скорости стержня \(\omega\).