Какова угловая скорость стержня в начальный момент времени после удара пластилинового шарика массой 10 г, летящего

Taras

63

Задача имеет дело с сохранением момента импульса. Перед ударом у пластилинового шарика и стержня не было момента импульса, следовательно, после удара суммарный момент импульса должен быть равен нулю (так как внешних моментов сил на систему нет).

Момент инерции стержня можно рассчитать как $$I=\frac{1}{3}m{L}^2,$$ где $m$ - масса стержня, а $L$ - его длина. Подставляя известные значения, получаем $$I=\frac{1}{3}\cdot 0.2\text{кг}\cdot (1\text{м}{)}^2=0.067\text{кг}\cdot {\text{м}}^2.$$

После удара, шарик и стержень двигаются вместе как одно целое. Обозначим скорость стержня после удара как $v$. Тогда момент импульса системы можно рассчитать как произведение массы стержня и его скорости: $$I_{\text{стержня}}\cdot \omega =(m_{\text{стержня}}+m_{\text{шарика}})\cdot v,$$ где $\omega$ - угловая скорость стержня, $m_{\text{шарика}}$ - масса шарика, а $m_{\text{стержня}}$ - масса стержня.

Масса шарика равна 10 г, что составляет 0.01 кг. Подставляя известные значения, получаем: $$0.067\text{кг}\cdot {\text{м}}^2\cdot \omega =(0.2\text{кг}+0.01\text{кг})\cdot v.$$

Теперь можно найти скорость стержня после удара. Для этого решим уравнение относительно $v$: $$v=\frac{0.067\text{кг}\cdot {\text{м}}^2\cdot \omega }{0.21\text{кг}}.$$

Осталось найти угловую скорость стержня. Для этого необходимо знать, где находится точка относительно горизонтальной оси, относительно которой рассчитывается момент инерции. В данной задаче горизонтальная ось проходит на расстоянии 0.25 м от края стержня. Следовательно, момент инерции стержня рассчитывается относительно этой точки и связан с угловой скоростью следующим образом: $$I_{\text{стержня}}\cdot \omega =m_{\text{стержня}}\cdot v\cdot r,$$ где $r$ - расстояние от этой точки до центра масс стержня.

Подставляя известные значения, получаем $$0.067\text{кг}\cdot {\text{м}}^2\cdot \omega =0.2\text{кг}\cdot v\cdot 0.25\text{м}.$$

Теперь можем найти угловую скорость стержня $\omega$. Подставляя значение $v$, полученное ранее, в уравнение, получаем: $$0.067\text{кг}\cdot {\text{м}}^2\cdot \omega =0.2\text{кг}\cdot \left(\frac{0.067\text{кг}\cdot {\text{м}}^2\cdot \omega }{0.21\text{кг}}\right)\cdot 0.25\text{м}.$$

Решая данное уравнение, получим значение угловой скорости стержня $\omega$.