Какова величина скорости точки в момент времени t при движении по кривой, если её координаты меняются согласно законам

Drakon_401

64

Для решения этой задачи, нам понадобятся формулы для скорости \(v_x\) и \(v_y\) по осям x и y соответственно.

Формула для скорости по оси x может быть найдена, взяв первую производную от формулы \(x = a_1 t^3\) по времени t:

\[
v_x = \frac{{dx}}{{dt}} = \frac{{d(a_1 t^3)}}{{dt}}
\]

Производная константы \(a_1\) равна нулю, и мы можем взять производную от \(t^3\) с использованием правила степенной функции:

\[
v_x = 3a_1 t^2
\]

Аналогично, формула для скорости по оси y может быть найдена, взяв первую производную от формулы \(y = a_2 t\):

\[
v_y = \frac{{dy}}{{dt}} = \frac{{d(a_2 t)}}{{dt}}
\]

Опять же, производная константы \(a_2\) равна нулю, и производная от \(t\) равна 1:

\[
v_y = a_2
\]

Таким образом, скорость точки будет иметь две компоненты:

\(v_x = 3a_1 t^2 = 3 \cdot 2 \, \text{м/с}^3 \cdot t^2\)

\(v_y = a_2 = 3 \, \text{м/с}\)

Используя эти две компоненты, мы можем найти величину скорости точки в момент времени t, используя теорему Пифагора:

\[
v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}
\]

Подставляя значения компонент скорости:

\[
v = \sqrt{(3 \cdot 2 \, \text{м/с}^3 \cdot t^2)^2 + (3 \, \text{м/с})^2}
\]

Сокращая выражение, упрощаем его:

\[
v = \sqrt{36 \, \text{м}^2/\text{с}^6 \cdot t^4 + 9 \, \text{м}^2/\text{с}^2}
\]

Таким образом, величина скорости точки в момент времени t будет равна \(\sqrt{36 \, \text{м}^2/\text{с}^6 \cdot t^4 + 9 \, \text{м}^2/\text{с}^2}\).