Какова вероятность, что из 6 дилеров в сети компании будут в убытке: а) точно 4 дилера, б) не менее 5 дилеров

Solnechnyy_Feniks_6917

67

Какова вероятность, что из 6 дилеров в сети компании будут в убытке:

а) Точно 4 дилера:
Для решения этой задачи, нам потребуется знать вероятность каждого дилера быть в убытке и быть в прибыли. Пусть \( P(L) \) обозначает вероятность дилера быть в убытке, а \( P(W) \) - вероятность дилера быть в прибыли.

Так как вероятность того, что определенный дилер будет в убытке, равна вероятности того, что он будет в прибыли (так как у него только два возможных исхода), то \( P(L) = P(W) = \frac{1}{2} \).

Вероятность, что из 6 дилеров в сети компании будет точно 4 в убытке, можно найти с помощью формулы Бернулли для биномиального распределения:
\[ P(X = k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k} \]

Где:
- \( n \) - количество испытаний (6, в данном случае),
- \( k \) - количество "успешных" исходов (4 в убытке, в данном случае),
- \( p \) - вероятность "успеха" (вероятность быть в убытке, \( P(L) \)),
- \( q \) - вероятность "неудачи" (вероятность быть в прибыли, \( P(W) \)).

Подставляя значения в формулу, получим:
\[ P(X = 4) = C_6^4 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^4 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{6-4} \]

Вычисляя данное выражение, получаем:
\[ P(X = 4) = 15 \cdot \frac{1}{16} \cdot \frac{1}{4} = \frac{15}{64} \approx 0.2344 \]

Таким образом, вероятность того, что из 6 дилеров в сети компании будет точно 4 в убытке, составляет примерно 0.2344 или примерно 23.44%.

б) Не менее 5 дилеров:
В данном случае, нам нужно найти вероятность того, что 5 или 6 дилеров будут в убытке. Мы можем решить эту задачу, вычислив вероятность того, что ровно 5 дилеров будут в убытке и вероятность того, что ровно 6 дилеров будут в убытке, а затем сложив эти две вероятности.

Вероятность иметь ровно 5 дилеров в убытке:
\[ P(X = 5) = C_6^5 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^5 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{6-5} \]

Вычисляя данное выражение, получаем:
\[ P(X = 5) = 6 \cdot \frac{1}{32} \cdot 1 = \frac{6}{32} = \frac{3}{16} \approx 0.1875 \]

Вероятность иметь ровно 6 дилеров в убытке:
\[ P(X = 6) = C_6^6 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^6 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{6-6} \]

Вычисляя данное выражение, получаем:
\[ P(X = 6) = 1 \cdot \frac{1}{64} \cdot 1 = \frac{1}{64} \]

Теперь, сложим две вероятности:
\[ P(X \geq 5) = P(X = 5) + P(X = 6) = \frac{3}{16} + \frac{1}{64} = \frac{13}{64} \approx 0.2031 \]

Таким образом, вероятность того, что не менее 5 дилеров будут в убытке, составляет примерно 0.2031 или примерно 20.31%.

в) Не более 4 дилеров:
В данном случае, нам нужно найти вероятность того, что 0, 1, 2, 3, или 4 дилера будут в убытке. Мы можем решить эту задачу, вычислив вероятности каждого отдельного случая и затем сложив эти вероятности.

Вероятность иметь 0 дилеров в убытке:
\[ P(X = 0) = C_6^0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{6-0} \]

Вычисляя данное выражение, получаем:
\[ P(X = 0) = 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{64} = \frac{1}{64} \]

Аналогично, найдем вероятности для 1, 2, 3, и 4 дилеров в убытке:
\[ P(X = 1) = C_6^1 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^1 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{6-1} \approx 0.0938 \]
\[ P(X = 2) = C_6^2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{6-2} \approx 0.2344 \]
\[ P(X = 3) = C_6^3 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{6-3} \approx 0.3125 \]
\[ P(X = 4) = C_6^4 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^4 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{6-4} \approx 0.2344 \]

Теперь, сложим все вероятности:
\[ P(X \leq 4) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) \approx 0.6094 \]

Таким образом, вероятность того, что не более 4 дилеров будут в убытке, составляет примерно 0.6094 или примерно 60.94%.