Какова вероятность, что оба студента решат задачу? Какова вероятность, что только один из них решит задачу?

Вельвет

31

Для решения этой задачи нам необходимо знать вероятности решения задачи каждым студентом по отдельности. Предположим, что вероятность решения задачи первым студентом равна \(p_1\), а вероятность решения задачи вторым студентом равна \(p_2\), где \(0 \leq p_1, p_2 \leq 1\).

Чтобы определить вероятность того, что оба студента решат задачу, мы можем использовать правило произведения для независимых событий. Записывая это в виде математического выражения, получаем:

\[P(\text{оба студента решат задачу}) = p_1 \cdot p_2\]

Здесь мы предполагаем, что решение задачи одного студента не зависит от решения другого студента.

Чтобы определить вероятность того, что только один из студентов решит задачу, мы можем использовать правило суммы вероятностей. Здесь нам нужно рассмотреть два случая: когда только первый студент решит задачу и когда только второй студент решит задачу. Математически это записывается так:

\[P(\text{только один из студентов решит задачу}) = p_1 \cdot (1-p_2) + (1-p_1) \cdot p_2\]

Здесь мы умножаем вероятность решения задачи первым студентом на вероятность того, что второй студент не решит задачу (\(1-p_2\)), а затем прибавляем к этому произведению вероятность того, что первый студент не решит задачу (\(1-p_1\)) и второй студент решит задачу (\(p_2\)).

Обоснование: Вероятность решения задачи каждым студентом представляет собой значение от 0 до 1, где 0 соответствует невозможности решения задачи, а 1 - абсолютной уверенности в решении. Первое правило, которое мы использовали (правило произведения), следует из свойств независимых событий, где вероятность одновременного наступления двух независимых событий равна произведению их вероятностей. Второе правило (правило суммы) также использует свойство независимых событий, но здесь для получения искомой вероятности учитываются все возможные комбинации событий.

Надеюсь, это понятно. Если у вас возникнут вопросы или требуется дополнительное объяснение, я готов помочь!