Какое является минимальное значение функции y=2x^3-24x+17 на интервале [0;8]?

Солнце_Над_Океаном

49

Хорошо, рассмотрим задачу более подробно. Вам нужно найти минимальное значение функции \(y = 2x^3 - 24x + 17\) на интервале от 0 до 8.

Для начала, найдем производную этой функции. Для этого возьмем производную каждого слагаемого по отдельности.

1. Для слагаемого \(2x^3\) применяем правило степенной функции: производная \(x^n\) равна \(nx^{n-1}\). В данном случае получаем:
\(\frac{d}{dx}(2x^3) = 6x^2\).

2. Для слагаемого \(-24x\) производная равна -24, так как производная константы равна нулю.

3. Слагаемое 17 является константой, поэтому его производная также равна нулю.

Теперь соберем все слагаемые вместе и найдем критические точки, где производная равна нулю или не определена.

\(\frac{d}{dx}(2x^3 - 24x + 17) = 6x^2 - 24\).

Найдем корни этого уравнения:

\(6x^2 - 24 = 0\)

Выделяем общий множитель:

\(6(x^2 - 4) = 0\).

Получаем:

\(x^2 - 4 = 0\).

Мы можем решить это квадратное уравнение, применив формулу разности квадратов:

\(x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) = 0\).

Таким образом, у нас есть две критические точки: \(x = 2\) и \(x = -2\).

Теперь необходимо проверить значения функции в этих точках, а также на границах интервала [0; 8].

1. Функция в точке \(x = -2\):
\(y(-2) = 2(-2)^3 - 24(-2) + 17 = 2(-8) + 48 + 17 = -16 + 48 + 17 = 49\).

2. Функция в точке \(x = 0\):
\(y(0) = 2(0)^3 - 24(0) + 17 = 0 - 0 + 17 = 17\).

3. Функция в точке \(x = 2\):
\(y(2) = 2(2)^3 - 24(2) + 17 = 2(8) - 48 + 17 = 16 - 48 + 17 = -15\).

4. Функция на границе интервала, \(x = 8\):
\(y(8) = 2(8)^3 - 24(8) + 17 = 2(512) - 192 + 17 = 1024 - 192 + 17 = 849\).

Итак, мы получили следующие значения функции:

\(y(-2) = 49\),
\(y(0) = 17\),
\(y(2) = -15\),
\(y(8) = 849\).

Минимальное значение функции на интервале [0; 8] равно -15. Таким образом, ответ на задачу составляет -15.