Какова вероятность, что по крайней мере одно письмо будет доставлено по правильному адресу, если секретарь отправляет

  • 59
Какова вероятность, что по крайней мере одно письмо будет доставлено по правильному адресу, если секретарь отправляет 5 писем по 5 адресам, случайным образом помещая их в конверты?
Zvezdnyy_Snayper
37
Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать метод комбинаторики, и в частности, принцип включения-исключения.

В данной задаче есть 5 писем и 5 адресов. Вероятность того, что одно письмо будет доставлено по правильному адресу, равна вероятности, что хотя бы одно письмо окажется на своем месте.

Для начала, мы можем рассмотреть случай, когда только одно письмо находится на своем месте. Вероятность этого равна количеству способов выбрать адрес для письма, которого необходимо доставить по адресу, деленного на общее количество возможных вариаций. Таких способов выбора будет 5, так как каждое письмо может быть на своем месте. Общее количество способов выбрать адреса для писем равно 5!, так как есть 5 писем и 5 адресов.

Таким образом, вероятность того, что ровно одно письмо будет доставлено по правильному адресу, равна:
\[ P(\text{ровно 1 письмо на своем месте}) = \frac{5}{5!} \]

Однако, в задаче нас интересует вероятность того, что по крайней мере одно письмо будет доставлено по правильному адресу. Для этого мы можем использовать принцип включения-исключения.

Чтобы применить принцип включения-исключения, мы должны суммировать вероятности каждого события (ровно 1 письмо на своем месте, ровно 2 письма на своих местах и так далее) и вычесть вероятности пересечений этих событий.

Вероятность того, что по крайней мере одно письмо будет доставлено по правильному адресу, равна:
\[ P(\text{по крайней мере 1 письмо на своем месте}) = 1 - P(\text{ровно 0 писем на своих местах}) \]

Вероятность того, что ровно 0 писем будет доставлено по правильному адресу, равна:
\[ P(\text{ровно 0 писем на своих местах}) = 1 - P(\text{ровно 1 письмо на своем месте}) + P(\text{ровно 2 письма на своих местах}) - \ldots \]

Применяя принцип включения-исключения, мы можем продолжить суммирование и вычитание вероятностей для каждого количества писем на своих местах, увеличивая количество писем на своих местах на каждом шаге.

Пошаговое решение может быть сложным для понимания школьником, поэтому мы можем использовать таблицу для упрощения вычислений:

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
\text{Количество писем на своих местах} & \text{Вероятность} \\
\hline
0 & 1 - \frac{5}{5!} \\
\hline
1 & \frac{5}{5!} \\
\hline
2 & -\frac{5}{2 \cdot 4!} \\
\hline
3 & \frac{5}{3 \cdot 3!} \\
\hline
4 & -\frac{5}{4 \cdot 2!} \\
\hline
5 & \frac{5}{5!} \\
\hline
\end{array}
\]

Теперь мы можем вычислить вероятность того, что по крайней мере одно письмо будет доставлено по правильному адресу:

\[
\begin{aligned}
P(\text{по крайней мере 1 письмо на своем месте}) &= 1 - P(\text{ровно 0 писем на своих местах}) \\
&= 1 - \left(1 - \frac{5}{5!} - \frac{5}{2 \cdot 4!} + \frac{5}{3 \cdot 3!} - \frac{5}{4 \cdot 2!} + \frac{5}{5!}\right) \\
&= 1 - \frac{44}{120} \\
&= \frac{76}{120} \\
&= \frac{19}{30}.
\end{aligned}
\]

Таким образом, вероятность того, что по крайней мере одно письмо будет доставлено по правильному адресу, равна \(\frac{19}{30}\) или около 0.6333.