1. Постройте уравнение касательной к графику функции y = f(x) в точке графика с координатой x0, если: а) f(x)

Чупа

9

= g(x).

1. а) Для нахождения уравнения касательной к графику функции в точке, мы будем использовать формулу для уравнения касательной:
\[y - f(x_0) = f"(x_0)(x - x_0)\]
где \(f"(x)\) - производная функции \(f(x)\).

a) Для функции \(f(x) = x^2 + 6x - 7\) и точки с координатой \(x_0 = -2\), найдем производную:
\[f"(x) = 2x + 6\]
Теперь подставим значения в формулу:
\[y - (-2^2 + 6*(-2) - 7) = (2*(-2) + 6)(x - (-2))\]
\[y + 9 = (-4 + 6)(x + 2)\]
\[y + 9 = 2(x + 2)\]
Мы можем упростить это уравнение:
\[y = 2x + 4 - 9\]
\[y = 2x - 5\]

б) Для функции \(f(x) = \cos{x}\) и точки с координатой \(x_0 = 1\), найдем производную:
\[f"(x) = -\sin{x}\]
Теперь подставим значения в формулу:
\[y - \cos{1} = (-\sin{1})(x - 1)\]
\[y - \cos{1} = -\sin{1}x + \sin{1}\]
\[y = -\sin{1}x + \sin{1} + \cos{1}\]

в) Для функции \(f(x) = (x + 2)^2\) и точки с координатой \(x_0 = 2\), найдем производную:
\[f"(x) = 2(x + 2)\]
Теперь подставим значения в формулу:
\[y - (2 + 2)^2 = 2(2 + 2)(x - 2)\]
\[y - 16 = 8(x - 2)\]
\[y - 16 = 8x - 16\]
\[y = 8x\]

2. Для нахождения уравнения касательной, параллельной заданной прямой, мы будем использовать факт, что угловой коэффициент касательной и параллельной прямой одинаков.

Угловой коэффициент заданной прямой \(y = -zx + 4\) равен \(-z\).

Для функции \(f(x) = x^3 - zx^2 - zx + 5\) найдем производную и приравняем ее к угловому коэффициенту заданной прямой:
\[f"(x) = 3x^2 - 2zx - z\]
\[3x^2 - 2zx - z = -z\]
\[3x^2 - 2zx = 0\]

Теперь мы можем получить уравнение касательной:
\[y - f(x_0) = f"(x_0)(x - x_0)\]
Поскольку касательная параллельна заданной прямой, они имеют одинаковый угловой коэффициент \(-z\), поэтому уравнение касательной примет вид:
\[y - (f(x_0)) = -z(x - x_0)\]
\[y - (x_0^3 - zx_0^2 - zx_0 + 5) = -z(x - x_0)\]

3. Для нахождения уравнения касательной, проходящей через заданную точку a(0, -6), мы будем использовать формулу для уравнения касательной:
\[y - f(x_0) = f"(x_0)(x - x_0)\]

Для функции \(f(x) = x^2 + 2x - 2\) и точки \(a(0, -6)\) будем искать уравнение касательной. Сначала найдем производную функции:
\[f"(x) = 2x + 2\]

Теперь подставим значения в формулу:
\[y - (-6) = (2(0) + 2)(x - 0)\]
\[y + 6 = 2x\]
Мы можем упростить это уравнение:
\[y = 2x - 6\]

4. Для нахождения уравнения общей касательной к графикам функций \(f(x) = x^2 + 2x + 4\) и \(g(x) = -x^2 - 1\), мы будем использовать формулу для уравнения общей касательной:
\[y - f(x_0) = f"(x_0)(x - x_0) = g"(x_0)(x - x_0)\]

Для функций \(f(x)\) и \(g(x)\) найдем производные:
\[f"(x) = 2x + 2\]
\[g"(x) = -2x\]

Теперь мы можем записать уравнение общей касательной:
\[y - (f(x_0)) = (f"(x_0))(x - x_0) = (g"(x_0))(x - x_0)\]

Подставим значения из задания:
\[y - (x_0^2 + 2x_0 + 4) = (2x_0 + 2)(x - x_0) = (-2x_0)(x - x_0)\]