Как найти производную функции y = 5x^2 - 2√x + sin π/4? Предоставьте подробное решение

Ястреб

3

Хорошо, давайте посмотрим, как найти производную функции \( y = 5x^2 - 2\sqrt{x} + \sin{\frac{\pi}{4}} \).

Для начала нам понадобятся некоторые базовые правила дифференцирования, а именно:

1. Правило дифференцирования степенной функции: если у нас есть функция \( f(x) = x^n \), то ее производная \( f"(x) \) равна произведению показателя степени на коэффициент и \( x \) в степени на \( (n-1) \), то есть \( f"(x) = nx^{n-1} \). Например, производная функции \( f(x) = x^2 \) равна \( f"(x) = 2x \).

2. Правило дифференцирования суммы и разности функций: если у нас есть функции \( f(x) \) и \( g(x) \), их производная \( (f \pm g)"(x) \) равна сумме (или разности) производных функций \( f"(x) \) и \( g"(x) \). Например, если \( f(x) = 2x^3 \) и \( g(x) = 3x^2 \), то производная функции \( h(x) = f(x) + g(x) \) равна \( h"(x) = f"(x) + g"(x) = 6x^2 + 6x \).

3. Правило дифференцирования функции синуса: если у нас есть функция \( f(x) = \sin{x} \), то ее производная \( f"(x) \) равна \(\cos{x}\).

Теперь давайте пошагово найдем производную заданной функции.

1. Найдем производную члена \( 5x^2 \) с помощью правила дифференцирования степенной функции. Показатель степени равен 2, поэтому \( \frac{d}{dx}(5x^2) = 2 \cdot 5x^{2-1} = 10x \).

2. Найдем производную члена \( -2\sqrt{x} \). Применим правило дифференцирования степенной функции для корня. Сначала запишем член в виде степенной функции: \( -2\sqrt{x} = -2x^{1/2} \). Показатель степени равен \( \frac{1}{2} \), поэтому \( \frac{d}{dx}(-2\sqrt{x}) = \frac{1}{2} \cdot -2x^{1/2-1} = -x^{-1/2} \).

3. Найдем производную члена \( \sin{\frac{\pi}{4}} \) с помощью правила дифференцирования функции синуса. Производная синуса равна косинусу, поэтому \( \frac{d}{dx}(\sin{\frac{\pi}{4}}) = \cos{\frac{\pi}{4}} \).

4. Теперь сложим все полученные производные и запишем производную функции \( y \):
\[ y" = 10x - x^{-1/2} + \cos{\frac{\pi}{4}} \]
Упростим выражение:
\[ y" = 10x - x^{-1/2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \]

Итак, производная функции \( y = 5x^2 - 2\sqrt{x} + \sin{\frac{\pi}{4}} \) равна \( y" = 10x - x^{-1/2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \).