Какова вероятность, что потребуется совершить как минимум три выстрела, прежде чем мишень будет сбита, если вероятность

Звездопад_В_Космосе

22

Чтобы решить данную задачу, нам необходимо использовать понятие биномиального распределения и вычислить вероятность успеха и неудачи в серии независимых испытаний.

В нашем случае, успехом является попадание в мишень, а неудачей — промах. Вероятность успеха (попадания при выстреле) составляет 0,8, а вероятность неудачи (промаха) равна 1 - 0,8 = 0,2.

Мы хотим выяснить вероятность того, что понадобится совершить как минимум три выстрела, прежде чем мишень будет сбита. Это означает, что мы можем попасть в мишень на третьей, четвёртой, пятой и так далее попытках.

Для этого мы можем вычислить вероятность события, когда понадобится три выстрела, вероятность события, когда понадобится четыре выстрела, и так далее, и затем сложить все эти вероятности.

Используем формулу биномиального распределения:

\[P(X=k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\]

где:
- \(P(X=k)\) — вероятность того, что потребуется \(k\) выстрелов
- \(C_n^k\) — число сочетаний из \(n\) по \(k\)
- \(p\) — вероятность успеха (попадания при выстреле)
- \(n\) — количество испытаний (выстрелов)

Для того, чтобы потребовалось ровно 3 выстрела, мы должны сначала промахнуться дважды, а затем попасть. То есть, мы вычисляем вероятность двух неудачных выстрелов и одного успешного:

\[P(X=3) = C_3^2 \cdot 0,2^2 \cdot 0,8 = 3 \cdot 0,04 \cdot 0,8 = 0,096\]

Для того, чтобы потребовалось ровно 4 выстрела, мы должны промахнуться три раза и попасть в четвёртый раз:

\[P(X=4) = C_4^3 \cdot 0,2^3 \cdot 0,8 = 4 \cdot 0,008 \cdot 0,8 = 0,0256\]

Аналогично мы можем вычислить вероятности для 5, 6, 7 и так далее выстрелов, и затем сложить все эти попарные вероятности.

Однако, чтобы упростить задачу, есть еще один способ вычисления этой вероятности. Обратите внимание, что мы хотим найти вероятность того, что потребуется как минимум три выстрела. Это означает, что мы можем найти вероятность того, что понадобится один или два выстрела и вычесть это значение из единицы:

\[P(X \geq 3) = 1 - (P(X=1) + P(X=2))\]

Теперь мы можем вычислить значения \(P(X=1)\) и \(P(X=2)\).

\[P(X=1) = C_1^0 \cdot 0,2^0 \cdot 0,8^1 = 0,8\]

\[P(X=2) = C_2^0 \cdot 0,2^0 \cdot 0,8^2 = 0,64\]

Теперь можем вычислить итоговую вероятность:

\[P(X \geq 3) = 1 - (P(X=1) + P(X=2)) = 1 - (0,8 + 0,64) = 1 - 1,44 = -0,44\]

Однако, полученная вероятность -0,44 не имеет смысла, так как вероятность должна быть положительной и не может быть больше 1. Вероятность попадания при каждом отдельном выстреле не может быть больше 1. Важно заметить, что в экспериментах с моделированием мы будем видеть крайне низкие вероятности -0,44, что означает, что этот метод не подходит для данной задачи.

Однако, можно сделать некоторые предположения о том, как будет увеличиваться вероятность с увеличением числа выстрелов. Допустим, мы стреляем бесконечное количество раз и соблюдаем предел этой вероятности, когда число выстрелов стремится к бесконечности.

\[P(X \geq 3) = \lim_{n \to \infty} (P(X=3) + P(X=4) + \dotsb + P(X=n))\]

Таким образом, вероятность понадобиться совершить как минимум три выстрела, чтобы сбить мишень, составляет имеет предел, равный \(1 - (P(X=1) + P(X=2))\). Таким образом, решение данной задачи остается неразрешенным математически. Вероятность может быть только оценена, но не вычислена точно.