Какова вероятность для певца получить главный приз, если он должен победить в минимум трех конкурсах из пяти

Олег

53

Для решения данных задач, мы можем использовать биномиальное распределение. В данном контексте, вероятность победы в каждом конкурсе и вероятность неперегорания каждой лампочки соответствуют вероятности успеха в одном испытании. Давайте рассмотрим каждую задачу по отдельности.

1) Вероятность получить главный приз при условии, что певец должен победить в минимум трех конкурсах из пяти проведенных. Мы можем применить биномиальное распределение для этой задачи.

Чтобы определить вероятность победы в некотором количестве конкурсов из определенного числа проходящих, мы используем формулу биномиального распределения:

\[P(X=k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\]

где \(P(X=k)\) - вероятность того, что певец победит ровно \(k\) раз, \(n\) - общее число конкурсов, \(p\) - вероятность победы в каждом конкурсе.

В данной задаче \(n = 5\) (всего пять проводимых конкурсов) и \(p = 0.7\) (вероятность победы в каждом конкурсе равна 0.7).

Давайте вычислим вероятность победы в минимум трех конкурсах. Для этого суммируем вероятности победы в трех, четырех и пяти конкурсах:

\[P(X \geq 3) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5)\]

\[P(X \geq 3) = \binom{5}{3} \cdot 0.7^3 \cdot (1-0.7)^{5-3} + \binom{5}{4} \cdot 0.7^4 \cdot (1-0.7)^{5-4} + \binom{5}{5} \cdot 0.7^5 \cdot (1-0.7)^{5-5}\]

Прокалькулировав данное выражение, мы найдем вероятность, что певец получит главный приз, победив в минимум трех конкурсах из пяти проведенных.

2) Вероятность замены не менее трех лампочек из четырех имеющихся в квартире, при условии, что вероятность неперегорания каждой лампочки в течение года равна 5/6. Также в данной задаче мы можем использовать биномиальное распределение.

Аналогично первой задаче, мы можем записать вероятность замены ровно \(k\) лампочек из четырех в виде:

\[P(X=k) = \binom{4}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{4-k}\]

И в данной задаче нам необходимо рассчитать вероятность замены не менее трех лампочек, то есть замену трех и всех четырех лампочек:

\[P(X \geq 3) = P(X = 3) + P(X = 4)\]

\[P(X \geq 3) = \binom{4}{3} \cdot (5/6)^3 \cdot (1-5/6)^{4-3} + \binom{4}{4} \cdot (5/6)^4 \cdot (1-5/6)^{4-4}\]

После вычисления данного выражения, мы найдем вероятность замены не менее трех лампочек из четырех в течение года.

Надеюсь, что эти пошаговые решения помогут вам понять решение данных задач. Если у вас остались какие-либо вопросы, не стесняйтесь задавать.